21. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 66 км/ч, а вторую – со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение:

Пусть вся трасса равна \( S \) км. Тогда первая половина трассы равна \( S/2 \) км, и вторая половина трассы равна \( S/2 \) км.

Время, затраченное на первую половину пути: \( t_1 = \frac{S/2}{66} = \frac{S}{132} \) часа.

Время, затраченное на вторую половину пути: \( t_2 = \frac{S/2}{110} = \frac{S}{220} \) часа.

Общее время в пути: \( T = t_1 + t_2 = \frac{S}{132} + \frac{S}{220} \).

Приведем к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 132 и 220: \( 132 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11 \), \( 220 = 2^2 \cdot 5 \cdot 11 \). НОЗ = \( 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 660 \).

\( T = \frac{5S}{660} + \frac{3S}{660} = \frac{8S}{660} = \frac{2S}{165} \) часа.

Средняя скорость находится по формуле: \( V_{ср} = \frac{Общий путь}{Общее время} \).

\( V_{ср} = \frac{S}{\frac{2S}{165}} = S \cdot \frac{165}{2S} = \frac{165}{2} = 82.5 \) км/ч.

Ответ: 82.5 км/ч.