25. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=50, BC=30, CF:DF=7:3.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Пусть EF — прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, такая что E лежит на AB, а F лежит на CD.

Мы знаем, что EF делит боковые стороны в том же отношении, в котором делит средняя линия, но нам дано отношение отрезков стороны CD.

\( CF : DF = 7 : 3 \). Это означает, что CD разделено на 7+3 = 10 частей.

Пусть \( CD = x \). Тогда \( CF = \frac{7}{10}x \) и \( DF = \frac{3}{10}x \).

Длина отрезка EF, который параллелен основаниям трапеции, находится по формуле:

\( EF = \frac{AD · DF + BC · CF}{CD} \)

Здесь \( AD = 50 \), \( BC = 30 \).

\( DF = \frac{3}{10}CD \) и \( CF = \frac{7}{10}CD \).

Подставляем в формулу:

\( EF = \frac{50 \cdot \frac{3}{10}CD + 30 · \frac{7}{10}CD}{CD} \)

\( EF = \frac{50 \cdot \frac{3}{10} + 30 · \frac{7}{10} · CD}{CD} \)

Сокращаем CD:

\( EF = 50 · \frac{3}{10} + 30 · \frac{7}{10} \)

\( EF = 5 · 3 + 3 · 7 \)

\( EF = 15 + 21 \)

\( EF = 36 \)

Ответ: 36