22. Постройте график функции y = { x²-6x+11, если x≥2, x+3, если x<2. Определите, при каких значениях т прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Построим график функции, состоящий из двух частей:

1. y = x² - 6x + 11 при x ≥ 2

Это часть параболы. Найдем вершину параболы \( y = x^2 - 6x + 11 \). Координата x вершины: \( x_в = -(-6)/(2 · 1) = 6/2 = 3 \).

Значение y в вершине: \( y_в = 3^2 - 6 · 3 + 11 = 9 - 18 + 11 = 2 \). Вершина параболы: (3, 2).

При \( x = 2 \): \( y = 2^2 - 6 · 2 + 11 = 4 - 12 + 11 = 3 \). Точка (2, 3).

При \( x = 4 \): \( y = 4^2 - 6 · 4 + 11 = 16 - 24 + 11 = 3 \). Точка (4, 3).

2. y = x + 3 при x < 2

Это часть прямой. Найдем точки на границе интервала.

При \( x = 2 \) (но не включая): \( y = 2 + 3 = 5 \). Точка (2, 5).

При \( x = 0 \): \( y = 0 + 3 = 3 \). Точка (0, 3).

При \( x = -1 \): \( y = -1 + 3 = 2 \). Точка (-1, 2).

Теперь проанализируем, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) (горизонтальная прямая) пересекает график функции в двух точках.

• Если \( m < 2 \), прямая не пересекает график (нет точек).
• Если \( m = 2 \), прямая пересекает график в одной точке (вершина параболы).
• Если \( 2 < m < 3 \), прямая пересекает график в двух точках (одна ветвь параболы).
• Если \( m = 3 \), прямая пересекает график в трех точках: (2, 3) от параболы, (0, 3) от прямой, и точка на параболе, где \( y = 3 \) (это x=4).
• Если \( 3 < m < 5 \), прямая пересекает график в двух точках (одна ветвь параболы и прямая).
• Если \( m = 5 \), прямая пересекает график в двух точках: (2, 5) от прямой, и точка на параболе, где \( y = 5 \) (решая \( x^2 - 6x + 11 = 5 \) => \( x^2 - 6x + 6 = 0 \) => \( x = (6 ± √{36-24})/2 = (6 ± √{12})/2 = 3 ± √{3} \). \( 3 + √{3} ≈ 4.73 \), \( 3 - √{3} ≈ 1.27 \). Нас интересует \( x ≥ 2 \), поэтому \( x ≈ 4.73 \)).
• Если \( m > 5 \), прямая пересекает график в одной точке (прямая).

Итак, две общие точки будут, когда \( 2 < m < 3 \) и \( 3 < m < 5 \). Однако, если \( m = 3 \), то у нас три точки пересечения. Нам нужно ровно две общие точки.

Перепроверим точки пересечения.

При \( m=3 \) точки: (2,3) и (4,3) от параболы, (0,3) от прямой. Всего 3 точки.

Таким образом, для двух точек пересечения \( m \) должна быть:

1. Между вершиной параболы (2) и значением \(y=3\) на границе параболы: \( 2 < m < 3 \).

2. Выше значения \(y=5\) на границе прямой (но не включая ее), и пересекать параболу.

Рассмотрим область \( x<2 \). Прямая \( y = x+3 \). Если \( m > 5 \), то нет пересечений с этой частью. Если \( m < 5 \), то есть одно пересечение.

Рассмотрим область \( x ≥ 2 \). Парабола \( y = x^2 - 6x + 11 \), вершина (3,2).

Если \( m = 2 \), одна точка (вершина).

Если \( 2 < m < 3 \), две точки от параболы.

Если \( m = 3 \), три точки: (2,3), (4,3) от параболы, (0,3) от прямой.

Если \( 3 < m < 5 \), две точки: одна от параболы, одна от прямой.

Если \( m > 5 \), одна точка от параболы.

Значит, ровно две общие точки при \( 2 < m < 3 \) и \( 3 < m < 5 \).

Ответ: \( m ∈ (2; 3) \cup (3; 5) \)