24. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и AED равна половине площади трапеции.

Доказательство:

Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и BC. EF — средняя линия, где E лежит на AB, а F лежит на CD. Точка E выбрана на средней линии.

Обозначим основания трапеции: \( AD = a \), \( BC = b \). Средняя линия \( EF = (a+b)/2 \).

Пусть высота трапеции равна \( h \). Тогда площадь трапеции \( S_{ABCD} = \frac{a+b}{2} \cdot h \).

Проведем через точку E прямую, параллельную основаниям трапеции. Пусть она пересекает BC в точке M, а AD в точке N. Тогда BM = MC = b/2, AN = ND = a/2.

Пусть точка E находится на расстоянии \( h_1 \) от основания BC и \( h_2 \) от основания AD. Так как E лежит на средней линии, то \( h_1 = h_2 = h/2 \).

Площадь треугольника BEC: \( S_{BEC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{h}{2} = \frac{bh}{4} \).

Площадь треугольника AED: \( S_{AED} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{ah}{4} \).

Сумма площадей треугольников BEC и AED:

\( S_{BEC} + S_{AED} = \frac{bh}{4} + \frac{ah}{4} = \frac{(a+b)h}{4} \).

Площадь трапеции равна \( S_{ABCD} = \frac{(a+b)h}{2} \).

Тогда \( \frac{(a+b)h}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(a+b)h}{2} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \).

Следовательно, \( S_{BEC} + S_{AED} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \). Что и требовалось доказать.

Доказано.