21. Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пошаговое решение:

1. Пусть x — количество правильных ответов, y — количество неправильных ответов, z — количество пропущенных ответов.
2. Составляем уравнения на основе условия:
   • Общее количество вопросов: \( x + y + z = 25 \)
   • Набранные очки: \( 7x - 9y = 56 \)
   • Известно, что ученик хотя бы раз ошибся, значит, \( y \ge 1 \).
3. Из второго уравнения выразим \( 7x \): \( 7x = 56 + 9y \).
4. Так как \( 7x \) должно делиться на 7, то \( 56 + 9y \) тоже должно делиться на 7. Поскольку 56 делится на 7, то \( 9y \) должно делиться на 7. Так как 7 и 9 взаимно просты, то \( y \) должно делиться на 7.
5. Учитывая, что \( y \ge 1 \) и \( y \) — количество ответов, \( y \) может быть 7, 14, 21, ...
6. Проверим возможные значения \( y \):
   • Если \( y = 7 \): \( 7x = 56 + 9 · 7 = 56 + 63 = 119 \). \( x = 119 / 7 = 17 \).
   • Теперь проверим, укладывается ли это в общее количество вопросов: \( x + y = 17 + 7 = 24 \). Значит, \( z = 25 - 24 = 1 \).
   • Это удовлетворяет всем условиям: \( x=17, y=7, z=1 \). \( 17+7+1=25 \). \( 7 · 17 - 9 · 7 = 119 - 63 = 56 \). И \( y=7 ≥ 1 \).
   • Если \( y = 14 \): \( 7x = 56 + 9 · 14 = 56 + 126 = 182 \). \( x = 182 / 7 = 26 \). Это невозможно, так как общее количество вопросов — 25.

Ответ: 17