21. Тип 21 № 311621 Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Решение задачи:

Дано:

• Расстояние по течению (и обратно) = 36 км.
• Общее время в пути = 5 часов.
• Скорость течения реки (v_теч) = 3 км/ч.

Найти:

• Скорость лодки в неподвижной воде (v_лод).

Обозначения:

• Пусть v — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
• Тогда скорость лодки по течению (v_{по теч}) = v + 3 (км/ч).
• Скорость лодки против течения (v_{против теч}) = v - 3 (км/ч).

Время в пути:

• Время по течению (t_{по теч}) = Расстояние / Скорость по течению = \( \frac{36}{v+3} \) часов.
• Время против течения (t_{против теч}) = Расстояние / Скорость против течения = \( \frac{36}{v-3} \) часов.

Составим уравнение:

Общее время в пути равно сумме времени движения по течению и против течения:

• \[ t_{по теч} + t_{против теч} = 5 \]
• \[ \frac{36}{v+3} + \frac{36}{v-3} = 5 \]

Решаем уравнение:

1. Приведем дроби к общему знаменателю (v+3)(v-3):
2. \[ \frac{36(v-3) + 36(v+3)}{(v+3)(v-3)} = 5 \]
3. \[ \frac{36v - 108 + 36v + 108}{v^2 - 9} = 5 \]
4. \[ \frac{72v}{v^2 - 9} = 5 \]
5. \[ 72v = 5(v^2 - 9) \]
6. \[ 72v = 5v^2 - 45 \]
7. \[ 5v^2 - 72v - 45 = 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

• D = b² - 4ac = (-72)² - 4(5)(-45) = 5184 + 900 = 6084.
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78 \]
• \[ v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 + 78}{2 \times 5} = \frac{150}{10} = 15 \]
• \[ v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 - 78}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6 \]

Поскольку скорость не может быть отрицательной, второй корень v2 не подходит.

Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде равна 15 км/ч.