22. Тип 22 № 340600 Постройте график функции y = (x⁴ - 13x² + 36) / ((x - 3)(x + 2)) и определите, при каких значениях параметра с прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Построение графика и анализ:

Шаг 1: Анализ функции

Дана функция: y = \( \frac{x^4 - 13x^2 + 36}{(x - 3)(x + 2)} \)

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

• (x - 3)(x + 2) \(\neq\) 0
• x \(\neq\) 3 и x \(\neq\) -2

Знаменатель имеет корни x = 3 и x = -2. Теперь разложим числитель на множители. Это биквадратное уравнение относительно x². Пусть t = x², тогда t² - 13t + 36 = 0.

Найдем корни квадратного уравнения:

• \[ t = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4(1)(36)}}{2(1)} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{13 \pm 5}{2} \]
• \[ t_1 = \frac{13 + 5}{2} = 9 \]
• \[ t_2 = \frac{13 - 5}{2} = 4 \]

Так как t = x², то:

• x² = 9 \(\implies\) x = \(\pm\) 3
• x² = 4 \(\implies\) x = \(\pm\) 2

Значит, числитель раскладывается как (x² - 9)(x² - 4), что равно (x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2).

Теперь упростим функцию:

• \[ y = \frac{(x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)} \]

Сокращаем общие множители:

• \[ y = (x + 3)(x - 2) \text{ при } x \neq 3 \text{ и } x \neq -2 \]
• \[ y = x^2 + x - 6 \text{ при } x \neq 3 \text{ и } x \neq -2 \]

Это парабола с выколотыми точками.

Шаг 2: Найдем координаты выколотых точек

При x = 3:

• y = (3)^2 + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6. Точка (3; 6) выколота.

При x = -2:

• y = (-2)^2 + (-2) - 6 = 4 - 2 - 6 = -4. Точка (-2; -4) выколота.

Шаг 3: Построение графика

График функции — это парабола y = x² + x - 6 с выколотыми точками (3; 6) и (-2; -4).