25. Тип 25 № 316335 Две окружности с центрами О₁ и Оз и радиусами 4,5 и 2,5 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом ка- саются окружности с центром О2 радиусом 7,5. Найдите угол 010203.

Решение задачи:

Дано:

• Окружность 1: центр O₁, радиус r₁ = 4.5
• Окружность 3: центр O₃, радиус r₃ = 2.5
• Окружность 2: центр O₂, радиус r₂ = 7.5
• Окружности 1 и 3 касаются внешним образом.
• Окружности 1 и 3 касаются окружности 2 внутренним образом.

Найти:

• Угол \(\angle O_1 O_2 O_3\).

Анализ расположения окружностей:

1. Касание окружностей 1 и 3 внешним образом:
• Расстояние между центрами O₁ и O₃ равно сумме их радиусов:
• \[ O_1O_3 = r_1 + r_3 = 4.5 + 2.5 = 7 \]
2. Касание окружности 1 с окружностью 2 внутренним образом:
• Расстояние между центрами O₁ и O₂ равно разности их радиусов (так как r₂ > r₁):
• \[ O_1O_2 = r_2 - r_1 = 7.5 - 4.5 = 3 \]
3. Касание окружности 3 с окружностью 2 внутренним образом:
• Расстояние между центрами O₃ и O₂ равно разности их радиусов (так как r₂ > r₃):
• \[ O_3O_2 = r_2 - r_3 = 7.5 - 2.5 = 5 \]

Шаг 1: Рассматриваем треугольник △O₁O₂O₃

Стороны этого треугольника равны найденным расстояниям между центрами:

• O₁O₃ = 7
• O₁O₂ = 3
• O₃O₂ = 5

Шаг 2: Используем теорему косинусов для нахождения угла △O₁O₂O₃.

Нас интересует угол при вершине O₂, то есть \(\angle O_1 O_2 O_3\). По теореме косинусов:

• \[ (O_1O_3)^2 = (O_1O_2)^2 + (O_3O_2)^2 - 2 \cdot O_1O_2 \cdot O_3O_2 \cdot \cos(\angle O_1 O_2 O_3) \]
• \[ 7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\angle O_1 O_2 O_3) \]
• \[ 49 = 9 + 25 - 30 \cdot \cos(\angle O_1 O_2 O_3) \]
• \[ 49 = 34 - 30 \cdot \cos(\angle O_1 O_2 O_3) \]
• \[ 49 - 34 = -30 \cdot \cos(\angle O_1 O_2 O_3) \]
• \[ 15 = -30 \cdot \cos(\angle O_1 O_2 O_3) \]
• \[ \cos(\angle O_1 O_2 O_3) = \frac{15}{-30} = -0.5 \]

Шаг 3: Находим угол.

Если косинус угла равен -0.5, то этот угол равен:

• \[ \angle O_1 O_2 O_3 = \arccos(-0.5) = 120^{\circ} \]

Ответ: Угол O₁O₂O₃ равен 120°.