24. Тип 24 № 311241 В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и COD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.

Доказательство:

Дано:

• Окружность с центром O.
• Хорды AB и CD.
• Центральные углы \(\angle AOB = \angle COD\).
• OK \(\perp\) AB, OL \(\perp\) CD, где K и L — точки на хордах.

Доказать:

• OK = OL

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\).
2. Так как OA, OB, OC, OD — радиусы одной окружности, то OA = OB = OC = OD = R.
3. По условию \(\angle AOB = \angle COD\).
4. Стороны OA и OB треугольника \(\triangle AOB\) равны сторонам OC и OD треугольника \(\triangle COD\) (так как все они — радиусы).
5. Следовательно, \(\triangle AOB\) = \(\triangle COD\) по двум сторонам и углу между ними (по признаку равенства треугольников, сторона-угол-сторона, СУС).
6. Из равенства треугольников следует, что хорды AB и CD равны: AB = CD.
7. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle OKA\) и \(\triangle OLC\) (или \(\triangle OKB\) и \(\triangle OLD\)).
8. В этих треугольниках:
• Гипотенузы OA = OC (радиусы).
• Катеты OK и OL — расстояния от центра до хорд.
• Если две хорды равны, то они равноудалены от центра окружности.
9. Таким образом, OK = OL.

Альтернативное доказательство через равенство треугольников:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle OKA\) и \(\triangle OLC\).
2. OA = OC (радиусы).
3. \[ \angle OAK = \angle OCL \] (так как \(\triangle AOB = \triangle COD\), то \(\angle OAB = \angle OCD\)).
4. Значит, \(\triangle OKA = \triangle OLC\) по гипотенузе и острому углу.
5. Из равенства треугольников следует, что их катеты равны: OK = OL.

Что и требовалось доказать.