21. Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 4 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

Решение:

Плоскость разбивается на 3 угла. Сумма всех углов равна 360°.

Пусть наименьший угол равен x.

Наибольший угол в 4 раза больше наименьшего, то есть он равен 4x.

Средний угол обозначим как y.

У нас есть условие, что углы являются целыми числами градусов.

Сумма углов: x + y + 4x = 360°

5x + y = 360°

y = 360° - 5x

У нас есть три разных угла, поэтому:

1. x < y < 4x
2. x, y, 4x - целые числа.

Из первого условия (x < y):

x < 360° - 5x

6x < 360°

x < 60°

Из второго условия (y < 4x):

360° - 5x < 4x

360° < 9x

x > 40°

Итак, наименьший угол x может принимать целые значения от 41° до 59° (40° < x < 60°).

Теперь найдем возможные значения среднего угла y = 360° - 5x.

Подставим минимальное и максимальное значения x:

• Если x = 41°, то y = 360° - 5 * 41° = 360° - 205° = 155°.
• Если x = 59°, то y = 360° - 5 * 59° = 360° - 295° = 65°.

Значения среднего угла y будут принимать значения от 65° до 155°.

Проверим условие x < y < 4x для крайних случаев:

Случай x = 41°:

• Наименьший угол = 41°.
• Средний угол = 155°.
• Наибольший угол = 4 * 41° = 164°.
• Условия: 41° < 155° < 164°. Выполняется.

Случай x = 59°:

• Наименьший угол = 59°.
• Средний угол = 65°.
• Наибольший угол = 4 * 59° = 236°.
• Условия: 59° < 65° < 236°. Выполняется.

Значение среднего угла y принимает все целые значения в диапазоне от 65° до 155° включительно.

Чтобы найти количество таких значений, нужно посчитать:

Количество значений = (Максимальное значение - Минимальное значение) + 1

Количество значений = (155 - 65) + 1 = 90 + 1 = 91.

Ответ: 91