21. Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 5 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

Пусть наименьший угол равен \( α \), средний угол равен \( β \), а наибольший угол равен \( γ \). Все углы измеряются в целых градусах.

Сумма углов, разбивающих плоскость, равна 360 градусов:

По условию, наибольший угол в 5 раз больше наименьшего:

Также по условию, углы разные, и \( α < β < γ \).

Подставим \( γ = 5α \) в уравнение суммы углов:

Из этого уравнения выразим \( β \):

Теперь используем неравенства, учитывая, что \( α, β, γ \) — целые числа:

1. \( α < β \)
2. \( β < γ \)

Подставим выражения через \( α \):

1. \( α < 360 - 6α \)

Так как \( α \) — целое число, то \( α ≤ 51 \).

2. \( 360 - 6α < 5α \)

Так как \( α \) — целое число, то \( α ≥ 33 \).

Итак, \( α \) может принимать целые значения от 33 до 51 включительно.

Теперь найдем диапазон для \( β = 360 - 6α \).

При \( α = 33 \): \( β = 360 - 6 33 = 360 - 198 = 162 \). \( γ = 5 33 = 165 \). Условия \( α < β < γ \) (33 < 162 < 165) выполняются.

При \( α = 51 \): \( β = 360 - 6 51 = 360 - 306 = 54 \). \( γ = 5 51 = 255 \). Условия \( α < β < γ \) (51 < 54 < 255) выполняются.

Значение \( β \) может принимать значения от 54 до 162.

Количество возможных значений \( β \) равно количеству возможных значений \( α \). Количество целых чисел в диапазоне от 33 до 51 включительно равно:

Ответ: 19