21. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол А равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины С, равна 18. Найдите длину стороны ВС.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то углы при основании равны: ∠ABC = ∠ACB.
2. Шаг 2: Сумма углов треугольника: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°.
3. Шаг 3: 120° + 2 * ∠ACB = 180°.
4. Шаг 4: 2 * ∠ACB = 60°.
5. Шаг 5: ∠ACB = 30°.
6. Шаг 6: Проведем высоту CH из вершины C к стороне AB. В прямоугольном треугольнике CHB: ∠CHB = 90°, ∠BCH = 30°, ∠CBH = 60°.
7. Шаг 7: Высота CH = 18.
8. Шаг 8: В прямоугольном треугольнике CHB, катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, CH = HB/2, откуда HB = 2 * CH = 2 * 18 = 36.
9. Шаг 9: Так как CH — высота, то в равнобедренном треугольнике ABC, CH также является медианой к основанию AB. Значит, AB = 2 * HB = 2 * 36 = 72.
10. Шаг 10: Проведем высоту AK из вершины A к стороне BC. В прямоугольном треугольнике AKC: ∠AKC = 90°, ∠ACK = 30°.
11. Шаг 11: Треугольник ABC подобен треугольнику AKC.
12. Шаг 12: Рассмотрим треугольник ABC. Высота из С на AB равна 18. Угол А = 120°, значит углы при основании B и C равны 30°.
13. Шаг 13: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой из С на AB. Гипотенуза AC. Высота = 18. Угол при B = 30°.
14. Шаг 14: Пусть проведена высота CK из вершины C к основанию AB. В прямоугольном треугольнике CKВ, ∠CKB = 90°, ∠CBK = 30°, ∠BCK = 60°.
15. Шаг 15: Значит, CK = BC * sin(30°) = BC/2.
16. Шаг 16: Высота, проведенная из вершины C, равна 18. Это высота к стороне AB.
17. Шаг 17: Пусть h_c = 18. Площадь треугольника ABC = (1/2) * AB * h_c = (1/2) * AB * 18 = 9 * AB.
18. Шаг 18: Так как треугольник равнобедренный, AB = AC.
19. Шаг 19: Углы при основании BC равны (180 - 120)/2 = 30°.
20. Шаг 20: Высота из C на AB. Пусть это будет CD. В треугольнике CDB, ∠CBD = 30°, ∠CDB = 90°. CD = 18.
21. Шаг 21: В треугольнике CDB: sin(30°) = CD / BC => 1/2 = 18 / BC => BC = 36.
22. Шаг 22: Проверим: Если BC = 36, то AB = AC. Угол A = 120°. По теореме косинусов: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(120°).
23. Шаг 23: 36^2 = AB^2 + AB^2 - 2 * AB^2 * (-1/2) = 2 * AB^2 + AB^2 = 3 * AB^2.
24. Шаг 24: AB^2 = 36^2 / 3 = 1296 / 3 = 432. AB = sqrt(432) = 12 * sqrt(3).
25. Шаг 25: Площадь = (1/2) * AB * AC * sin(120°) = (1/2) * 432 * (sqrt(3)/2) = 108 * sqrt(3).
26. Шаг 26: Площадь = (1/2) * BC * h_a = (1/2) * 36 * h_a = 18 * h_a.
27. Шаг 27: 108 * sqrt(3) = 18 * h_a => h_a = 6 * sqrt(3).
28. Шаг 28: Высота из C на AB = 18. Треугольник ABC. Угол A = 120. Углы B = C = 30. Высота из C к AB. Пусть CD = 18. В треугольнике CDB: sin(30) = CD / BC. 1/2 = 18 / BC. BC = 36.

Ответ: 36