214 Найдите пересечение и объединение числовых лучей: a) x < 6 и x ≥ 4; б) x ≥ 5 и x ≤ 1.

Решение:

Числовой луч – это множество чисел, удовлетворяющих одному неравенству. Пересечение – общие элементы, объединение – все элементы.

а) \( x < 6 \) и \( x \ge 4 \)

Первый луч: \( (-\infty; 6) \). Второй луч: \( [4; \infty) \). Пересечение: \( (-\infty; 6) \cap [4; \infty) = [4; 6) \). Объединение: \( (-\infty; 6) \cup [4; \infty) = (-\infty; \infty) \) (вся числовая прямая).

б) \( x \ge 5 \) и \( x \le 1 \)

Первый луч: \( [5; \infty) \). Второй луч: \( (-\infty; 1] \). Пересечение: \( [5; \infty) \cap (-\infty; 1] = \emptyset \) (пустое множество, так как лучи не пересекаются). Объединение: \( [5; \infty) \cup (-\infty; 1] \) (два отдельных луча).

Ответ: а) пересечение [4; 6), объединение \( (-\infty; \infty) \); б) пересечение \( \emptyset \), объединение \( (-\infty; 1] \cup [5; \infty) \).