22. Постройте график функции $$y=3-\frac{x+5}{x^2+5x}$$ и определите, при каких значениях т прямая $$y=т$$ не имеет с графиком одной общей точки.

Решение:

Преобразуем функцию:

$$ y = 3 - \frac{x+5}{x(x+5)} $$

Заметим, что \( x
e 0 \) и \( x
e -5 \) (область определения функции).

Сократим дробь:

$$ y = 3 - \frac{1}{x} $$

Это график гиперболы \( y = -\frac{1}{x} \), смещённый на 3 единицы вверх. Асимптоты:

• Вертикальная: \( x = 0 \).
• Горизонтальная: \( y = 3 \).

Найдем точки, которые не входят в область определения:

• При \( x = -5 \): \( y = 3 - \frac{1}{-5} = 3 + \frac{1}{5} = 3.2 \). То есть точка \( (-5; 3.2) \) — «выколотая» на графике.

• Точка \( x = 0 \) — вертикальная асимптота, значение \( y \) не определено.

График состоит из двух ветвей гиперболы. Горизонтальная асимптота — \( y=3 \).

Прямая \( y=т \) будет иметь с графиком одну общую точку, если она совпадает с горизонтальной асимптотой \( y=3 \) (тогда она не пересекает гиперболу), или если она проходит через «выколотую» точку, т.е. \( y=3.2 \).

Нам нужно найти значение \( т \), при котором прямая \( y=т \) не имеет с графиком ни одной общей точки. Это возможно только в случае, если прямая совпадает с горизонтальной асимптотой, но не проходит через «выколотую» точку, так как в этом случае она имеет одну общую точку.

Следовательно, прямая \( y=т \) не имеет общих точек с графиком, когда \( т \) совпадает с горизонтальной асимптотой, то есть \( т = 3 \).

Ответ: \( т = 3 \).