22. Постройте график функции y = 5|x − 3| − x² + 7x − 12. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Для построения графика функции y = 5|x − 3| − x² + 7x − 12, рассмотрим два случая:

• Случай 1: x − 3 ≥ 0, то есть x ≥ 3. Тогда |x − 3| = x − 3. Функция принимает вид:y = 5(x − 3) − x² + 7x − 12 = 5x − 15 − x² + 7x − 12 = −x² + 12x − 27. Это парабола с ветвями вниз. Вершина параболы находится в точке x = -12 / (2 * -1) = 6. При x = 6, y = -(6)² + 12(6) − 27 = −36 + 72 − 27 = 9. Точка вершины: (6, 9).
• Случай 2: x − 3 < 0, то есть x < 3. Тогда |x − 3| = -(x − 3) = 3 − x. Функция принимает вид:y = 5(3 − x) − x² + 7x − 12 = 15 − 5x − x² + 7x − 12 = −x² + 2x + 3. Это парабола с ветвями вниз. Вершина параболы находится в точке x = -2 / (2 * -1) = 1. При x = 1, y = -(1)² + 2(1) + 3 = −1 + 2 + 3 = 4. Точка вершины: (1, 4).

При x = 3, значение функции в обоих случаях совпадает:y = 5(3) − (3)² + 7(3) − 12 = 15 − 9 + 21 − 12 = 15. И y = 5(3 − 3) − (3)² + 7(3) − 12 = 0 − 9 + 21 − 12 = 0. Ошибка в расчетах. Проверим точку x=3:

• Случай 1 (x >= 3): y = -(3)^2 + 12(3) - 27 = -9 + 36 - 27 = 0
• Случай 2 (x < 3): y = -(3)^2 + 2(3) + 3 = -9 + 6 + 3 = 0

Итак, точка (3, 0) является точкой соединения двух частей графика.

График будет состоять из двух парабол:

• y = −x² + 12x − 27 при x ≥ 3 (часть параболы с вершиной в (6, 9)).
• y = −x² + 2x + 3 при x < 3 (часть параболы с вершиной в (1, 4)).

Определение значений m:

Прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки, когда она проходит через:

• Вершину одной из парабол и пересекает другую часть графика.
• Максимальное значение одной части графика, если другая часть имеет более низкое значение.

Рассмотрим значения y в вершинах и в точке соединения:

• Вершина первой параболы: (6, 9) → y = 9.
• Вершина второй параболы: (1, 4) → y = 4.
• Точка соединения: (3, 0) → y = 0.

Чтобы получить ровно три общие точки, прямая y = m должна проходить через:

• Высшую точку графика, которая является вершиной первой параболы (6, 9), при условии, что она пересекает вторую часть графика. В данном случае, m = 9. Прямая y = 9 будет касаться вершины первой параболы (одна точка) и пересечет вторую ветвь параболы в двух точках. Итого 3 точки.
• Значение, которое соответствует вершине второй параболы (1, 4), если первая ветвь имеет более высокое значение. В данном случае, m = 4. Прямая y = 4 пройдет через вершину второй параболы (одна точка) и пересечет первую ветвь (y = −x² + 12x − 27) в двух точках, так как 4 < 9. Итого 3 точки.

График:

Условие трех точек достигается при m = 4 (прямая проходит через вершину второй параболы и пересекает первую ветвь дважды) и m = 9 (прямая проходит через вершину первой параболы и пересекает вторую ветвь дважды).

Ответ: m = 4, m = 9