22 Постройте график функции y = 6x+18 / 6x²+18x и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим функцию:
   \( y = \frac{6x+18}{6x^2+18x} = \frac{6(x+3)}{6x(x+3)} \).
2. Шаг 2: Определим область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:
   \( 6x(x+3) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0 \) и \( x \ne -3 \).
3. Шаг 3: Сократим дробь (при \( x \ne -3 \)):
   \( y = \frac{1}{x} \).
4. Шаг 4: График функции \( y = \frac{1}{x} \) — это гипербола. У этой гиперболы есть две ветви, расположенные в I и III координатных четвертях.
5. Шаг 5: Учтем ограничения области определения.
   При \( x = -3 \) функция не определена, поэтому точка \( (-3, -1/3) \) выкалывается.
   При \( x = 0 \) функция не определена, это вертикальная асимптота. Горизонтальная асимптота — \( y = 0 \).
6. Шаг 6: Теперь рассмотрим прямую \( y = kx \). Эта прямая проходит через начало координат (0,0).
7. Шаг 7: Найдем точки пересечения графиков \( y = \frac{1}{x} \) (с учетом выколотой точки) и \( y = kx \).
   Приравняем уравнения:
   \( \frac{1}{x} = kx \)
   \( 1 = kx^2 \)
   \( x^2 = \frac{1}{k} \).
8. Шаг 8: Для того чтобы прямая и гипербола имели ровно одну общую точку, необходимо рассмотреть два случая:
   Случай 1: Уравнение \( x^2 = \frac{1}{k} \) имеет ровно одно решение. Это возможно, если \( k > 0 \). Тогда \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}} \). В этом случае будет две точки пересечения.
   Случай 2: Одна из точек пересечения, найденных из \( x^2 = \frac{1}{k} \), является выколотой точкой \( (-3, -1/3) \).
   Подставим координаты выколотой точки в уравнение прямой \( y=kx \):
   \( -1/3 = k(-3) \)
   \( k = \frac{-1/3}{-3} = \frac{1}{9} \).
   Проверим, сколько точек пересечения при \( k = 1/9 \).
   \( x^2 = \frac{1}{1/9} = 9 \)
   \( x = \pm 3 \).
   Если \( x = 3 \), то \( y = \frac{1}{3} \) (точка \( (3, 1/3) \)).
   Если \( x = -3 \), то \( y = \frac{1}{-3} = -1/3 \). Но эта точка выколота.
   Таким образом, при \( k = 1/9 \) прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции (исключая выколотую).
9. Случай 3: Прямая \( y = kx \) проходит через выколотую точку \( (-3, -1/3) \) и является касательной к одной из ветвей гиперболы, или проходит через начало координат и является одной из асимптот.
   Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат (0, 0). Если \( k=0 \), то \( y=0 \) (ось X). Это асимптота, с которой гипербола не пересекается.
10. Случай 4: Прямая \( y = kx \) проходит через выколотую точку \( (-3, -1/3) \).
    Подставим координаты в уравнение \( y = kx \):
    \( -1/3 = k \cdot (-3) \)
    \( k = 1/9 \).
    При \( k=1/9 \), \( x^2 = 1/(1/9) = 9 \), \( x = ±3 \).
    Точка \( x = 3 \) дает \( y = 1/3 \) (точка \( (3, 1/3) \)).
    Точка \( x = -3 \) является выколотой.
    Значит, при \( k=1/9 \) есть ровно одна общая точка \( (3, 1/3) \).

Анализ:

• Функция \( y = \frac{6x+18}{6x^2+18x} \) после упрощения и учета области определения ( \( x \ne 0 \) и \( x \ne -3 \) ) сводится к \( y = \frac{1}{x} \), с выколотой точкой в \( (-3, -1/3) \).
• Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат.
• Мы ищем значение \( k \), при котором прямая \( y = kx \) пересекает график \( y = 1/x \) (с учетом выколотой точки) ровно в одной точке.
• Пересечение графиков \( y=1/x \) и \( y=kx \) происходит при \( kx^2 = 1 \), то есть \( x^2 = 1/k \).
• Если \( k > 0 \), то \( x = ± 1/\sqrt{k} \), что дает две точки пересечения.
• Если \( k < 0 \), то \( x^2 = 1/k \) не имеет действительных решений, значит, нет точек пересечения.
• Если \( k = 0 \), то \( y = 0 \), что является горизонтальной асимптотой, с которой график \( y = 1/x \) не пересекается.
• Единственный случай, когда у нас будет ровно одна общая точка, — это когда прямая \( y=kx \) проходит через выколотую точку \( (-3, -1/3) \). Подставив координаты этой точки в уравнение прямой, получим:
  \( -1/3 = k · (-3) \)
  \( k = 1/9 \).
  При \( k=1/9 \), \( x^2 = 1/(1/9) = 9 \), \( x = ± 3 \).
  Точка \( x = 3 \) дает \( y = 1/3 \) (точка \( (3, 1/3) \)), которая является общей точкой.
  Точка \( x = -3 \) соответствует выколотой точке, поэтому она не считается общей.

Ответ: 1/9