22. Постройте график функции \(y=\frac{(x^2+6,25)(2x-1)}{1-2x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne\frac12\). Так как \(1-2x=-(2x-1)\), функция при допустимых значениях аргумента упрощается до \(y=-x^2-6,25\). Её график — парабола, направленная ветвями вниз, без точки \(\left(\frac12;-6,5\right)\).

Точки пересечения с прямой \(y=kx\) удовлетворяют уравнению \(-x^2-6,25=kx\), или \(x^2+kx+6,25=0\), причём \(x=\frac12\) не допускается.

Если дискриминант \(D=k^2-25\) равен нулю, получается одна точка пересечения: это происходит при \(k=5\) или \(k=-5\); соответствующие корни \(-2,5\) и \(2,5\) допустимы.

Если \(D>0\), обычно есть две точки. Ровно одна из них оказывается недопустимой, когда корень равен \(\frac12\). Подстановка в уравнение даёт \(\frac14+\frac{k}{2}+6,25=0\), откуда \(k=-13\). Второй корень при этом допустим.

Ответ: \(k\in\{-13,-5,5\}\).