25. Биссектриса AF треугольника ABC делит сторону BC на отрезки BF = 5 и FC = 7. Касательная к окружности, описанной около треугольника ABC, проходит через точку A и пересекает прямую CB в точке K. Найдите AK.

По теореме о биссектрисе \(\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{FC}=\frac57\).

Для точки пересечения касательной в \(A\) с прямой \(BC\) выполняется соотношение \(\frac{BK}{CK}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\). Поэтому \(\frac{BK}{CK}=\frac{25}{49}<1\), и точка \(K\) находится за точкой \(B\). Обозначим \(BK=x\). Тогда \(CK=x+BC=x+12\).

Решим пропорцию: \(\frac{x}{x+12}=\frac{25}{49}\), откуда \(49x=25x+300\), \(x=12,5\). Значит, \(CK=24,5\).

По теореме о касательной и секущей \(AK^2=BK\cdot CK\). Тогда \(AK=\sqrt{12,5\cdot24,5}=\sqrt{306,25}=17,5\).

Ответ: 17,5.