Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 22. Постройте график функции y = (x²+2.25)(x+1) / (-1-x). Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком…Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Упростим функцию:
    • Заметим, что в знаменателе (-1-x) можно вынести -1: (-1-x) = -(1+x).
    • В числителе (x²+2.25) не раскладывается на простые множители с действительными корнями.
    • Перепишем функцию: \[ y = \frac{(x^2 + 2.25)(x+1)}{-(x+1)} \]
    • При x ≠ -1, мы можем сократить (x+1): \[ y = -(x^2 + 2.25) \text{ при } x \neq -1 \]
    • То есть, график функции представляет собой параболу y = -x² - 2.25 с выколотой точкой при x = -1.
  2. Найдем координаты выколотой точки:
    • Подставим x = -1 в упрощенное уравнение: \[ y = -(-1)^2 - 2.25 = -(1) - 2.25 = -1 - 2.25 = -3.25 \]
    • Выколотая точка имеет координаты (-1; -3.25).
  3. Построение графика:
    • График y = -x² - 2.25 — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0; -2.25).
    • График проходит через точки: (-1; -3.25), (1; -3.25), (-2; -6.25), (2; -6.25) и т.д.
    • Обязательно на графике должна быть отмечена выколотая точка (-1; -3.25).
  4. Анализ прямой y = kx:
    • Прямая y = kx проходит через начало координат (0,0).
    • Нам нужно найти такие значения k, при которых прямая имеет ровно одну общую точку с параболой y = -x² - 2.25 (с учетом выколотой точки).
    • Случай 1: Прямая проходит через начало координат и выколотую точку.
      • Подставим координаты выколотой точки (-1; -3.25) в уравнение прямой y = kx:
        • \[ -3.25 = k \times (-1) \] \[ k = 3.25 \]
      • Если k = 3.25, прямая проходит через начало координат и выколотую точку, касаясь параболы в другой точке. Это дает нам одну общую точку (кроме выколотой).
    • Случай 2: Прямая является касательной к параболе.
      • Приравняем уравнения параболы и прямой: \[ -x^2 - 2.25 = kx \]
      • Перенесем все в одну сторону: \[ x^2 + kx + 2.25 = 0 \]
      • Для того чтобы прямая была касательной к параболе, квадратное уравнение должно иметь ровно один корень. Это значит, что дискриминант (D) должен быть равен нулю.
      • D = k² - 4(1)(2.25) = 0
      • k² - 9 = 0
      • k² = 9
      • k = ±3
    • При k = 3, прямая y = 3x имеет одну точку пересечения с параболой.
    • При k = -3, прямая y = -3x имеет одну точку пересечения с параболой.
    • Важный момент: Нужно проверить, не совпадает ли одна из точек касания с выколотой точкой (-1; -3.25).
    • Если k = 3, находим x: x² + 3x + 2.25 = 0. (x + 1.5)² = 0. x = -1.5. Это не выколотая точка.
    • Если k = -3, находим x: x² - 3x + 2.25 = 0. (x - 1.5)² = 0. x = 1.5. Это не выколотая точка.
    • Рассмотрим случай k = 3.25 еще раз.
      • Если k=3.25, то прямая y = 3.25x.
      • Парабола y = -x² - 2.25.
      • Приравняем: -x² - 2.25 = 3.25x
      • x² + 3.25x + 2.25 = 0
      • Умножим на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей: 4x² + 13x + 9 = 0.
      • Дискриминант D = 13² - 4(4)(9) = 169 - 144 = 25.
      • x = (-13 ± √25) / 8 = (-13 ± 5) / 8.
      • x₁ = (-13 + 5) / 8 = -8 / 8 = -1.
      • x₂ = (-13 - 5) / 8 = -18 / 8 = -9/4 = -2.25.
      • Мы видим, что при k = 3.25 одной из точек пересечения является x = -1, что соответствует выколотой точке. Вторая точка пересечения - x = -2.25. Таким образом, при k = 3.25 прямая проходит через выколотую точку и пересекает параболу в другой точке. Это дает ровно одну ОБЩУЮ точку с графиком.
    • Итак, значения k, при которых прямая y = kx имеет ровно одну общую точку с графиком:
      • k = 3 (касательная)
      • k = -3 (касательная)
      • k = 3.25 (прямая проходит через выколотую точку и пересекает параболу)

Ответ: k = 3, k = -3, k = 3.25