23. Углы В и С треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14.

Решение:

1. Найдем угол A в треугольнике ABC. Сумма углов треугольника равна 180°.
\[ \angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C \] \[ \angle A = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 85^{\circ} = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \]
2. Для решения задачи используем теорему синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:
\[ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} = 2R \]
3. Нам нужно найти сторону BC, которая противолежит углу A. Обозначим сторону BC как 'a'.
4. Подставим известные значения в теорему синусов:
\[ \frac{BC}{\sin(\angle A)} = 2R \]
5. \[ \frac{BC}{\sin(30^{\circ})} = 2 \times 14 \]
6. \[ \frac{BC}{0.5} = 28 \]
7. Выразим BC:
\[ BC = 28 \times 0.5 = 14 \]

Ответ: 14