25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Свойства трапеции, в которую вписана окружность:

Сумма оснований равна сумме боковых сторон (a + b = 2c, где c - боковая сторона).
Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности (h = 2r).

Решение:

Площадь S = 1280.
Формула площади: S = \(\frac{a+b}{2} \times h\).
\[ 1280 = \frac{80}{2} \times h \] \[ 1280 = 40 \times h \] \[ h = \frac{1280}{40} = 32 \]
Высота трапеции h = 32.

В равнобедренной трапеции, если опустить высоты из концов меньшего основания на большее, то большее основание разделится на три отрезка: x, a, x. Где x = (b - a) / 2.
Пусть меньшее основание 'a', большее основание 'b'. Тогда b = 80 - a.
Проекция боковой стороны на большее основание: \[ x = \frac{b - a}{2} = \frac{(80 - a) - a}{2} = \frac{80 - 2a}{2} = 40 - a \]
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой (h), проекцией боковой стороны (x) и боковой стороной (c). По теореме Пифагора: \[ h^2 + x^2 = c^2 \]
\[ 32^2 + (40 - a)^2 = 40^2 \] \[ 1024 + (40 - a)^2 = 1600 \] \[ (40 - a)^2 = 1600 - 1024 = 576 \]
\[ 40 - a = \sqrt{576} \] \[ 40 - a = 24 \]
\[ a = 40 - 24 = 16 \]
Меньшее основание a = 16.
Большее основание b = 80 - a = 80 - 16 = 64.

Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD.
Рассмотрим подобные треугольники: ΔAOD ~ ΔCOB.
Отношение высот, опущенных из O на основания AD и BC, равно отношению оснований:
Пусть h_BC - расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания BC.
Пусть h_AD - расстояние от точки пересечения диагоналей до большего основания AD.
Общая высота трапеции h = h_AD + h_BC = 32.
Из отношения \[ h_{AD} = 4 h_{BC} \]
Подставим в сумму высот: \[ 4h_{BC} + h_{BC} = 32 \] \[ 5h_{BC} = 32 \] \[ h_{BC} = \frac{32}{5} = 6.4 \]

Ответ: 6.4