20. Решите неравенство: (x² - x - 6)(x² - 8x + 15) ≥ 0.

Решение:

1. Сначала найдем корни каждого квадратного трехчлена.
2. Первый трехчлен: x² - x - 6
• Дискриминант D = (-1)² - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25.
• x₁ = (1 + √25) / 2 = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3.
• x₂ = (1 - √25) / 2 = (1 - 5) / 2 = -4 / 2 = -2.
• Таким образом, x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2).
3. Второй трехчлен: x² - 8x + 15
• Дискриминант D = (-8)² - 4(1)(15) = 64 - 60 = 4.
• x₃ = (8 + √4) / 2 = (8 + 2) / 2 = 10 / 2 = 5.
• x₄ = (8 - √4) / 2 = (8 - 2) / 2 = 6 / 2 = 3.
• Таким образом, x² - 8x + 15 = (x - 5)(x - 3).
4. Теперь исходное неравенство можно записать в виде: \[ (x - 3)(x + 2)(x - 5)(x - 3) \geq 0 \] \[ (x - 3)^2 (x + 2)(x - 5) \geq 0 \]
5. Проанализируем знаки каждого множителя на числовой прямой. Обратите внимание, что множитель (x - 3)² всегда неотрицателен (≥ 0).
6. Рассмотрим интервалы, определяемые корнями -2, 3, 5.
7. Интервал x < -2: (x - 3)² > 0, (x + 2) < 0, (x - 5) < 0. Произведение: (+) * (-) * (-) = (+). Неравенство выполняется.
8. Интервал -2 ≤ x < 3: (x - 3)² > 0, (x + 2) ≥ 0, (x - 5) < 0. Произведение: (+) * (+) * (-) = (-). Неравенство НЕ выполняется (кроме x=-2).
9. Точка x = 3: (x - 3)² = 0. Произведение равно 0, что удовлетворяет неравенству (≥ 0).
10. Интервал 3 < x < 5: (x - 3)² > 0, (x + 2) > 0, (x - 5) < 0. Произведение: (+) * (+) * (-) = (-). Неравенство НЕ выполняется.
11. Интервал x > 5: (x - 3)² > 0, (x + 2) > 0, (x - 5) > 0. Произведение: (+) * (+) * (+) = (+). Неравенство выполняется.
12. Объединяя полученные интервалы и точки: x ≤ -2 или x = 3 или x ≥ 5.

Ответ: (-∞; -2] ∪ {3} ∪ [5; +∞)