22. Постройте график функции y = ((x − 3)(x² + 6x + 8))/(x + 2) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne -2\). Разложим числитель на множители:

\[y=\frac{(x-3)(x+2)(x+4)}{x+2}=x^2+x-12,\qquad x\ne-2.\]

Следовательно, график — парабола \(y=x^2+x-12\) с выколотой точкой \((-2;-10)\). Вершина параболы имеет абсциссу \(x=-\frac12\), а ординату \(y=-\frac{49}{4}\).

Обычно горизонтальная прямая пересекает параболу в одной точке только на уровне вершины: \(m=-\frac{49}{4}\). На уровне \(m=-10\) у параболы две точки пересечения, но одна из них — выколотая точка \((-2;-10)\), поэтому на исходном графике остаётся ровно одна общая точка.

График функции и отмеченные уровни:

Ответ: \(m=-\frac{49}{4}\) или \(m=-10\).