25. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 26 и 11, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 12.

Расположим основание \(AD\) горизонтально. Обозначим через \(x\) горизонтальную проекцию стороны \(AB\) на \(AD\), а высоту трапеции — через \(h\). Разность оснований равна \(26-11=15\), поэтому горизонтальная проекция стороны \(CD\), направленная от \(D\) влево, равна \(15-x\).

Пусть углы при основании \(AD\) равны \(\alpha\) и \(\beta\). По условию \(\alpha+\beta=90^\circ\), поэтому \(\tan\alpha\tan\beta=1\). Из прямоугольных треугольников \(\tan\alpha=\frac{h}{x}\) и \(\tan\beta=\frac{h}{15-x}\). Следовательно, \(h^2=x(15-x)\).

Так как \(AB=12\), имеем \(x^2+h^2=144\). Подставляя выражение для \(h^2\), получаем \(x^2+x(15-x)=144\), откуда \(x=9.6\), а \(h=7.2\).

Выберем координаты \(A(0;0)\), \(D(26;0)\). Тогда \(B(9.6;7.2)\), \(C(20.6;7.2)\). Направляющий вектор \(AB=(9.6;7.2)=2.4(4;3)\). Если центр окружности — \(O(u;v)\), равенство \(OA=OB\) даёт уравнение серединного перпендикуляра к \(AB\): \(4u+3v=30\).

Прямая \(CD\), проходящая через \(D(26;0)\) и \(C(20.6;7.2)\), имеет уравнение \(4x+3y=104\). Эта прямая параллельна серединному перпендикуляру к \(AB\). Расстояние между ними равно \(\frac{|104-30|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{74}{5}=14.8\). Поскольку окружность касается прямой \(CD\), её радиус равен расстоянию от центра до этой прямой.

Ответ: 14,8.