23. Прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках E и F соответственно. Известно, что AB = 10, BC = 14, AC = 15, AE = 3, CF = 9. Найдите длину отрезка EF.

Так как \(E\) лежит на стороне \(AB\), а \(F\) — на стороне \(BC\), получаем:

\(BE=AB-AE=10-3=7\), \(BF=BC-CF=14-9=5\).

Найдём косинус угла \(B\) по теореме косинусов в треугольнике \(ABC\):

\[\cos B=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{100+196-225}{280}=\frac{71}{280}.\]

Применим теорему косинусов в треугольнике \(EBF\):

\[EF^2=BE^2+BF^2-2\cdot BE\cdot BF\cos B=49+25-70\cdot\frac{71}{280}=56.25.\]

Значит, \(EF=7.5\).

Ответ: 7,5.