22. Постройте график функции y = x² − 5x + 10 − 3|x − 2| и определите, при каких значениях a прямая y = a + 3 имеет с графиком данной функции три общие точки.

Раскроем модуль:

При \(x<2\): \(y=x^2-5x+10-3(2-x)=x^2-2x+4=(x-1)^2+3\).

При \(x\ge2\): \(y=x^2-5x+10-3(x-2)=x^2-8x+16=(x-4)^2\).

Итак, функция задаётся формулой:

\[y=\begin{cases}(x-1)^2+3, & x<2,\\(x-4)^2, & x\ge2.\end{cases}\]

Пересечения с прямой \(y=a+3\):

На левой ветви \((x-1)^2=a\). Для получения двух точек на этой ветви нужно \(0

На правой ветви \((x-4)^2=a+3\) в исходной записи? Исправим непосредственно из равенства: \((x-4)^2=a+3\). Однако при использовании исходной функции для \(x\ge2\) получаем именно \((x-4)^2=a+3\). Тогда число решений на правой ветви равно двум при \(0\le a+3<4\), то есть \(-3\le a<1\), и одному при \(a+3\ge4\), то есть \(a\ge1\).

Для трёх общих точек необходимо, чтобы на левой ветви была одна точка, а на правой — две. Это выполняется при \(a\ge1\) и \(-3\le a<1\), что невозможно одновременно. Проверим граничное условие: при \(a=1\) точка \(x=2\) принадлежит только правой ветви, а левая ветвь даёт один корень \(x=0\); правая — два корня \(x=2\) и \(x=6\). Поэтому три точки получаются только при \(a=1\).

Ответ: \(a=1\).

Ключевые элементы графика: левая ветвь — парабола \(y=(x-1)^2+3\) при \(x<2\), правая ветвь — парабола \(y=(x-4)^2\) при \(x\ge2\).