25. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 8, катет BC равен 15. Найдите радиус окружности, которая проходит через концы гипотенузы треугольника и касается прямой BC.

Пусть \(C=(0,0)\), \(B=(15,0)\), \(A=(0,8)\). Центр окружности обозначим \(O(x,y)\).

Так как окружность проходит через точки \(A\) и \(B\), то \(OA=OB\):

\(x^2+(y-8)^2=(x-15)^2+y^2\).

После упрощения:

\(30x-16y=161\).

Окружность касается прямой \(BC\, (y=0)\), поэтому расстояние от центра до этой прямой равно радиусу: \(R=|y|\). Кроме того, \(OB=R\), значит \((x-15)^2+y^2=y^2\), откуда \(x=15\).

Тогда \(30\cdot15-16y=161\), поэтому \(y=\frac{289}{16}\). Следовательно, \(R=\frac{289}{16}\).

Ответ: \(\frac{289}{16}\).