22. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 34°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен разности острых углов треугольника, делённой на 2. Пусть острые углы треугольника равны \(\alpha\) и \(\beta\). Тогда:

\( \alpha - \beta / 2 = 34^\circ \)

Также мы знаем, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \( 90^\circ \):

\( \alpha + \beta = 90^\circ \) => \( \beta = 90^\circ - \alpha \)

Подставим \(\beta\) во второе уравнение:

\( \alpha - (90^\circ - \alpha) / 2 = 34^\circ \)

\( \alpha - 45^\circ + \alpha / 2 = 34^\circ \)

\( 3\alpha / 2 = 79^\circ \)

\( \alpha = 79^\circ \cdot 2 / 3 = 158 / 3 \approx 52.67^\circ \)

Теперь найдём \(\beta\):

\( \beta = 90^\circ - 52.67^\circ = 37.33^\circ \)

Меньший угол треугольника равен \(\beta\).

Ответ: 37.33