23. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 9°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны \(\alpha\) и \(\beta\). Угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен \( |\alpha - \beta| / 2 \).

Нам дано, что \( |\alpha - \beta| / 2 = 9^\circ \).

Тогда \( |\alpha - \beta| = 18^\circ \).

Также мы знаем, что \( \alpha + \beta = 90^\circ \).

Рассмотрим два случая:

1. \( \alpha - \beta = 18^\circ \)

Система уравнений:

\( \alpha - \beta = 18^\circ \)

\( \alpha + \beta = 90^\circ \)

Складывая уравнения, получаем: \( 2\alpha = 108^\circ \) => \( \alpha = 54^\circ \). Тогда \( \beta = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ \).

2. \( \beta - \alpha = 18^\circ \)

Система уравнений:

\( \beta - \alpha = 18^\circ \)

\( \alpha + \beta = 90^\circ \)

Складывая уравнения, получаем: \( 2\beta = 108^\circ \) => \( \beta = 54^\circ \). Тогда \( \alpha = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ \).

В обоих случаях острые углы равны \( 54^\circ \) и \( 36^\circ \). Меньший угол равен \( 36^\circ \).

Ответ: 36