Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 28. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 18°.…Фото задания

Ответ:

Решение:

Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны \(\alpha\) и \(\beta\), где \(\beta\) — меньший угол. Тогда \( \alpha + \beta = 90^\circ \).

Угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен \( |\alpha - 2\beta| / 2 \) (если \(\beta\) — меньший угол) или \( |2\alpha - \beta| / 2 \).

Примем \( \beta \) как меньший угол. Формула для угла между биссектрисой и медианой будет \( |\alpha - 2\beta| / 2 \).

Дано: \( |\alpha - 2\beta| / 2 = 18^\circ \).

\( |\alpha - 2\beta| = 36^\circ \).

Подставим \( \alpha = 90^\circ - \beta \):

\( |(90^\circ - \beta) - 2\beta| = 36^\circ \)

\( |90^\circ - 3\beta| = 36^\circ \).

Рассмотрим два случая:

  1. \( 90^\circ - 3\beta = 36^\circ \)

    2. \( 3\beta = 90^\circ - 36^\circ \)

    \( 3\beta = 54^\circ \)

    \( \beta = 18^\circ \)

    \( \alpha = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ \).

    Так как \( \beta < \alpha \), этот случай подходит.

  2. \( 90^\circ - 3\beta = -36^\circ \)

    3. \( 3\beta = 90^\circ + 36^\circ \)

    \( 3\beta = 126^\circ \)

    \( \beta = 42^\circ \)

    \( \alpha = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ \).

    В этом случае \( \beta > \alpha \), что противоречит нашему предположению, что \(\beta\) — меньший угол.

    Если бы мы взяли формулу \( |2\alpha - \beta| / 2 \), то получили бы:

    \( |2\alpha - \beta| = 36^\circ \)

    \( |2\alpha - (90^\circ - \alpha)| = 36^\circ \)

    \( |3\alpha - 90^\circ| = 36^\circ \)

    1. \( 3\alpha - 90^\circ = 36^\circ \) => \( 3\alpha = 126^\circ \) => \( \alpha = 42^\circ \). Тогда \( \beta = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ \). Здесь \(\alpha < \beta\), что противоречит предположению, что \(\beta\) - меньший угол.
    2. \( 3\alpha - 90^\circ = -36^\circ \) => \( 3\alpha = 54^\circ \) => \( \alpha = 18^\circ \). Тогда \( \beta = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ \). Здесь \(\alpha < \beta\), что противоречит предположению, что \(\beta\) - меньший угол.

    Из всех рассмотренных вариантов, только \( \beta = 18^\circ \) удовлетворяет условию, что \(\beta\) — меньший угол.

    Ответ: 18