Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 27. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°.…Фото задания

Ответ:

Решение:

Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны \(\alpha\) и \(\beta\), где \(\beta\) — меньший угол. Тогда \( \alpha + \beta = 90^\circ \).

Угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен \( |\alpha - 2\beta| / 2 \) (если \(\beta\) — меньший угол) или \( |2\alpha - \beta| / 2 \).

Примем \( \beta \) как меньший угол. Формула для угла между биссектрисой и медианой будет \( |\alpha - 2\beta| / 2 \).

Дано: \( |\alpha - 2\beta| / 2 = 14^\circ \).

\( |\alpha - 2\beta| = 28^\circ \).

Подставим \( \alpha = 90^\circ - \beta \):

\( |(90^\circ - \beta) - 2\beta| = 28^\circ \)

\( |90^\circ - 3\beta| = 28^\circ \).

Рассмотрим два случая:

  1. \( 90^\circ - 3\beta = 28^\circ \)

    2. \( 3\beta = 90^\circ - 28^\circ \)

    \( 3\beta = 62^\circ \)

    \( \beta = 62/3^\circ \approx 20.67^\circ \)

    \( \alpha = 90^\circ - 20.67^\circ = 69.33^\circ \).

    Так как \( \beta < \alpha \), этот случай подходит.

  2. \( 90^\circ - 3\beta = -28^\circ \)

    3. \( 3\beta = 90^\circ + 28^\circ \)

    \( 3\beta = 118^\circ \)

    \( \beta = 118/3^\circ \approx 39.33^\circ \)

    \( \alpha = 90^\circ - 39.33^\circ = 50.67^\circ \).

    В этом случае \( \beta > \alpha \), что противоречит нашему предположению, что \(\beta\) — меньший угол.

    Если бы мы взяли формулу \( |2\alpha - \beta| / 2 \), то получили бы:

    \( |2\alpha - \beta| = 28^\circ \)

    \( |2\alpha - (90^\circ - \alpha)| = 28^\circ \)

    \( |3\alpha - 90^\circ| = 28^\circ \)

    1. \( 3\alpha - 90^\circ = 28^\circ \) => \( 3\alpha = 118^\circ \) => \( \alpha = 118/3^\circ \approx 39.33^\circ \). Тогда \( \beta = 90^\circ - 39.33^\circ = 50.67^\circ \). Здесь \(\alpha < \beta\), что противоречит предположению, что \(\beta\) - меньший угол.
    2. \( 3\alpha - 90^\circ = -28^\circ \) => \( 3\alpha = 62^\circ \) => \( \alpha = 62/3^\circ \approx 20.67^\circ \). Тогда \( \beta = 90^\circ - 20.67^\circ = 69.33^\circ \). Здесь \(\alpha < \beta\), что противоречит предположению, что \(\beta\) - меньший угол.

    Из всех рассмотренных вариантов, только \( \beta \approx 20.67^\circ \) удовлетворяет условию, что \(\beta\) — меньший угол.

    Ответ: 20.67