25. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 12°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Биссектриса делит прямой угол пополам, то есть образует угол \( 45^\circ \) с катетами. Обозначим меньший острый угол треугольника как \(\beta\), а больший — как \(\alpha\).

Тогда \( \alpha + \beta = 90^\circ \).

Угол между биссектрисой и медианой равен \( |\alpha - 2\beta| / 2 \) или \( |2\alpha - \beta| / 2 \).

Рассмотрим первый случай:

\( |\alpha - 2\beta| / 2 = 12^\circ \)

\( |\alpha - 2\beta| = 24^\circ \)

Подставим \( \alpha = 90^\circ - \beta \):

\( |(90^\circ - \beta) - 2\beta| = 24^\circ \)

\( |90^\circ - 3\beta| = 24^\circ \)

Два варианта:

1. \( 90^\circ - 3\beta = 24^\circ \) => \( 3\beta = 66^\circ \) => \( \beta = 22^\circ \). Тогда \( \alpha = 90^\circ - 22^\circ = 68^\circ \).
2. \( 90^\circ - 3\beta = -24^\circ \) => \( 3\beta = 114^\circ \) => \( \beta = 38^\circ \). Тогда \( \alpha = 90^\circ - 38^\circ = 52^\circ \).

В первом случае меньший угол \(\beta = 22^\circ \).

Рассмотрим второй случай (когда угол между биссектрисой и медианой равен \( |2\alpha - \beta| / 2 = 12^\circ \) ):

\( |2\alpha - \beta| = 24^\circ \)

Подставим \( \beta = 90^\circ - \alpha \):

\( |2\alpha - (90^\circ - \alpha)| = 24^\circ \)

\( |3\alpha - 90^\circ| = 24^\circ \)

Два варианта:

1. \( 3\alpha - 90^\circ = 24^\circ \) => \( 3\alpha = 114^\circ \) => \( \alpha = 38^\circ \). Тогда \( \beta = 90^\circ - 38^\circ = 52^\circ \). Здесь \(\alpha\) - больший угол, но \(\alpha < \beta\), что противоречит условию.
2. \( 3\alpha - 90^\circ = -24^\circ \) => \( 3\alpha = 66^\circ \) => \( \alpha = 22^\circ \). Тогда \( \beta = 90^\circ - 22^\circ = 68^\circ \). Здесь \(\alpha\) - больший угол, но \(\alpha < \beta\), что противоречит условию.

Следовательно, меньший угол равен \( 22^\circ \).

Ответ: 22