22 Постройте график функции y = { х - 0,5, если х < -2; -2х - 6,5, если -2 < x < -1; x - 3,5, если х> -1. } Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Построим график функции, состоящей из трёх частей:

1. y = x - 0.5, если x < -2
   Это луч прямой. Найдём значения на границах:
   При \( x = -2 \) (не включая): \( y = -2 - 0.5 = -2.5 \). Точка (-2, -2.5) — начало луча (выколотая).
   Возьмём другую точку, например, \( x = -3 \): \( y = -3 - 0.5 = -3.5 \).
2. y = -2x - 6.5, если -2 < x < -1
   Это отрезок прямой. Найдём значения на границах:
   При \( x = -2 \) (не включая): \( y = -2(-2) - 6.5 = 4 - 6.5 = -2.5 \). Точка (-2, -2.5) — начало отрезка (выколотая).
   При \( x = -1 \) (не включая): \( y = -2(-1) - 6.5 = 2 - 6.5 = -4.5 \). Точка (-1, -4.5) — конец отрезка (выколотая).
3. y = x - 3.5, если x > -1
   Это луч прямой. Найдём значения на границах:
   При \( x = -1 \) (не включая): \( y = -1 - 3.5 = -4.5 \). Точка (-1, -4.5) — начало луча (выколотая).
   Возьмём другую точку, например, \( x = 0 \): \( y = 0 - 3.5 = -3.5 \).

На графике видно, что прямая \( y = t \) будет иметь ровно две общие точки с графиком функции в двух случаях:

1. Когда \( t \) находится между значениями \( y \) в точках разрыва. В данном случае, между \( y = -2.5 \) (включая, так как первая часть функции уходит вверх от -2.5) и \( y = -4.5 \) (не включая, так как вторая и третья части сходятся в -4.5).
2. Когда \( t \) совпадает с максимальным значением функции на одном из участков, если этот максимум является локальным.

Рассмотрим значения \( y \) в точках, где меняется определение функции:

• В точке \( x = -2 \), \( y = -2.5 \). Первая функция уходит вверх от этой точки (луч), вторая — приходит к этой точке (отрезок).
• В точке \( x = -1 \), \( y = -4.5 \). Вторая функция уходит от этой точки (отрезок), третья — приходит к этой точке (луч).

Прямая \( y = t \) будет иметь ровно две общие точки, когда:

• \( t \) находится строго между \( -2.5 \) и \( -4.5 \). Например, \( y = -3 \).
• \( t \) равно \( -2.5 \). Это значение достигается в первой части функции (луч уходит вверх) и во второй части (отрезок приходит к этой точке).

Исследуем интервалы:

• Для \( x < -2 \): \( y = x - 0.5 \). Наибольшее значение этой части графика стремится к \(-2.5\) при \( x \to -2 \).
• Для \( -2 < x < -1 \): \( y = -2x - 6.5 \). Это отрезок. На концах \( y = -2.5 \) (при \( x \to -2 \)) и \( y = -4.5 \) (при \( x \to -1 \)).
• Для \( x > -1 \): \( y = x - 3.5 \). Наименьшее значение этой части графика стремится к \(-4.5\) при \( x \to -1 \).

Чтобы прямая \( y = t \) имела ровно две общие точки, \( t \) должно быть равно:

• \( t = -2.5 \). В этом случае одна точка будет на первой части графика (когда \( x \to -2 \) из первой части) и одна точка будет на второй части графика (когда \( x = -2 \) из второй части).
• \( t \) находится в интервале \( (-4.5, -2.5) \). В этом случае будет по одной точке на первой и второй частях графика, или на первой и третьей, или на второй и третьей.

Рассмотрим внимательнее, где линии пересекаются:

1. \( y = x - 0.5 \) и \( y = t \). Если \( t < -2.5 \), будет одна точка. Если \( t = -2.5 \), эта точка является границей. Если \( t > -2.5 \), нет точек на этом луче.

2. \( y = -2x - 6.5 \) и \( y = t \). Для \( -4.5 < t < -2.5 \), будет одна точка. Если \( t = -2.5 \) или \( t = -4.5 \), это границы. Если \( t < -4.5 \) или \( t > -2.5 \), нет точек на этом отрезке.

3. \( y = x - 3.5 \) и \( y = t \). Если \( t > -4.5 \), будет одна точка. Если \( t = -4.5 \), эта точка является границей. Если \( t < -4.5 \), нет точек на этом луче.

Чтобы было ровно две точки:

• Случай 1: \( t = -2.5 \). Первая часть графика (луч) подходит к \(-2.5\). Вторая часть графика (отрезок) начинается с \(-2.5\). Таким образом, \( y = -2.5 \) имеет одну точку с первой частью (предельно) и одну точку со второй (начало отрезка). Итого две точки.
• Случай 2: \( t = -4.5 \). Вторая часть графика (отрезок) заканчивается в \(-4.5\). Третья часть графика (луч) начинается с \(-4.5\). Таким образом, \( y = -4.5 \) имеет одну точку со второй частью (конец отрезка) и одну точку с третьей (начало луча). Итого две точки.
• Случай 3: \( t \) находится между \( -4.5 \) и \( -2.5 \). Например, \( t = -3 \). Этот \( y \) будет пересекать луч \( y = x - 0.5 \) (для \( x < -2 \)), отрезок \( y = -2x - 6.5 \) (для \( -2 < x < -1 \)), и луч \( y = x - 3.5 \) (для \( x > -1 \)). Это три точки.

Посмотрим на график ещё раз. Прямая \( y=t \) может иметь ровно две общие точки, если:

• \( t = -2.5 \). Здесь пересекаются первая и вторая части графика (если считать граничные точки).
• \( t = -4.5 \). Здесь пересекаются вторая и третья части графика.

Ответ: \( t = -2.5 \) или \( t = -4.5 \)