23 Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пере- секаются в точке М. Найдите МС, если АВ = 16, DC = 24, AC = 25.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle CDM \).

1. \( \angle BAM = \angle DCM \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AB \) и \( DC \) и секущей \( AC \).

2. \( \angle ABM = \angle CDM \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AB \) и \( DC \) и секущей \( BD \).

3. \( \angle AMB = \angle CMD \) как вертикальные углы.

Следовательно, \( \triangle ABM \sim \triangle CDM \) по двум углам (или по трём).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

\[ \frac{AB}{CD} = \frac{AM}{CM} = \frac{BM}{DM} \]

Нам даны \( AB = 16 \), \( DC = 24 \), \( AC = 25 \). Нам нужно найти \( MC \).

Из пропорции имеем:

\[ \frac{AB}{CD} = \frac{AM}{CM} \]

\[ \frac{16}{24} = \frac{AM}{CM} \]

Упростим дробь:

\[ \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \]

Итак, \( \frac{AM}{CM} = \frac{2}{3} \). Это означает, что \( AM = \frac{2}{3} CM \).

Также мы знаем, что \( AC = AM + MC \). Подставим \( AM \):

\[ 25 = \frac{2}{3} CM + CM \]

\[ 25 = \left(\frac{2}{3} + 1\right) CM \]

\[ 25 = \left(\frac{2}{3} + \frac{3}{3}\right) CM \]

\[ 25 = \frac{5}{3} CM \]

Теперь найдём \( CM \):

\[ CM = 25 \cdot \frac{3}{5} \]

\[ CM = \frac{75}{5} \]

\[ CM = 15 \]

Ответ: 15