25 В треугольнике АВС известно, что АВ = 15, АС = 25, точка О центр окруж- ности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите CD.

Решение:

1. Пусть \( \angle BAC = \alpha \). По теореме синусов для \( \triangle ABC \), описанного окружностью с центром \( O \):

\[ BC = 2R \]

где \( R \) — радиус описанной окружности.

2. \( \angle BOC = 2 \angle BAC = 2\alpha \) (центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу \( BC \)).

3. \( \triangle BOC \) — равнобедренный, так как \( OB = OC = R \). Проведём высоту \( OM \) к основанию \( BC \). \( OM \) будет и медианой, и биссектрисой. \( \angle BOM = \angle COM = \alpha \).

4. Рассмотрим \( \triangle AOC \). \( OA = OC = R \). \( \angle AOC = 2 \angle ABC \) (центральный угол, опирающийся на дугу \( AC \)).

5. Рассмотрим \( \triangle AOB \). \( OA = OB = R \). \( \angle AOB = 2 \angle ACB \) (центральный угол, опирающийся на дугу \( AB \)).

6. По условию, \( BD \perp AO \). Рассмотрим \( \triangle ADO \). \( \angle ADO = 90^{\circ} \).

7. В \( \triangle AOC \) проведём высоту \( OD' \) к стороне \( AC \). Тогда \( \angle AD'O = 90^{\circ} \). Но по условию \( BD \perp AO \), точка \( D \) лежит на \( AC \). Это означает, что \( D \) является основанием перпендикуляра, опущенного из \( B \) на \( AO \), а также, что \( D \) лежит на \( AC \). Это может указывать на то, что \( \triangle ADO \) подобен \( \triangle ABD \) и \( \triangle BDO \) по общему острому углу. Более того, \( D \) является проекцией \( B \) на \( AO \). Также \( D \) является проекцией \( O \) на \( AC \), если \( AO \) перпендикулярно \( AC \), что маловероятно.

8. Альтернативный подход: Используем свойства центра описанной окружности и хорд.

Пусть \( \angle BAC = \alpha \), \( \angle ABC = \beta \), \( \angle ACB = \gamma \).

\( OA = OB = OC = R \).

В \( \triangle AOB \), \( \angle OAB = \angle OBA = 90^{\circ} - \gamma \).

В \( \triangle BOC \), \( \angle OBC = \angle OCB = 90^{\circ} - \alpha \).

В \( \triangle AOC \), \( \angle OAC = \angle OCA = 90^{\circ} - \beta \).

\( \angle OAC = \angle BAC - \angle OAB = \alpha - (90^{\circ} - \gamma) = \alpha + \gamma - 90^{\circ} \).

Но \( \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} \), следовательно \( \alpha + \gamma = 180^{\circ} - \beta \).

\[ \angle OAC = 180^{\circ} - \beta - 90^{\circ} = 90^{\circ} - \beta \). Это совпадает.

Прямая \( BD \) перпендикулярна \( AO \). Точка \( D \) лежит на \( AC \).

Рассмотрим \( \triangle ADO \). \( \angle ADO = 90^{\circ} \). \( \angle DAO = \angle OAC = 90^{\circ} - \beta \).

Из \( \triangle ADO \): \( AD = AO \cos(\angle DAO) = R \cos(90^{\circ} - \beta) = R \sin(\beta) \).

По теореме синусов для \( \triangle ABC \): \( AC = 2R \sin(\beta) \).

Следовательно, \( AD = R \sin(\beta) = \frac{AC}{2} \).

Так как \( AC = 25 \), то \( AD = \frac{25}{2} = 12.5 \).

Нам нужно найти \( CD \).

\[ CD = AC - AD \]

\[ CD = 25 - 12.5 \]

\[ CD = 12.5 \]

Ответ: 12.5