24 На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произ- вольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и AED равна половине площади трапеции.

Доказательство:

Пусть \( ABCD \) — трапеция с основаниями \( AD \) и \( BC \). Пусть \( MN \) — средняя линия трапеции, где \( M \) лежит на \( AB \), а \( N \) — на \( CD \). Точка \( E \) лежит на средней линии \( MN \).

Обозначим основания трапеции как \( a = AD \) и \( b = BC \). Высоту трапеции обозначим как \( h \).

Площадь трапеции \( S_{ABCD} \) равна:

\[ S_{ABCD} = \frac{a+b}{2} \cdot h \]

Средняя линия \( MN \) равна полусумме оснований:

\[ MN = \frac{a+b}{2} \]

Пусть \( EK \) — перпендикуляр, опущенный из точки \( E \) на основание \( AD \), и \( EL \) — перпендикуляр, опущенный из точки \( E \) на основание \( BC \).

Высота трапеции \( h \) делится средней линией на две равные части. Пусть расстояние от \( E \) до \( BC \) равно \( h_1 \), а расстояние от \( E \) до \( AD \) равно \( h_2 \).

Так как \( E \) лежит на средней линии, то \( h_1 = h_2 = \frac{h}{2} \).

Площадь треугольника \( \triangle BEC \) равна:

\[ S_{BEC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 = \frac{1}{2} b \cdot \frac{h}{2} = \frac{bh}{4} \]

Площадь треугольника \( \triangle AED \) равна:

\[ S_{AED} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 = \frac{1}{2} a \cdot \frac{h}{2} = \frac{ah}{4} \]

Сумма площадей этих треугольников:

\[ S_{BEC} + S_{AED} = \frac{bh}{4} + \frac{ah}{4} = \frac{h(a+b)}{4} \]

Сравним эту сумму с половиной площади трапеции:

\[ \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \left( \frac{a+b}{2} \cdot h \right) = \frac{h(a+b)}{4} \]

Видим, что \( S_{BEC} + S_{AED} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \).

Что и требовалось доказать.