23. (2 балла) Решите неравенство методом интервалов: (x-10)(x+7)² / (6x-18) < 0.

Решение:

1. Находим корни числителя и знаменателя:
   • x - 10 = 0 => x = 10
   • (x + 7)² = 0 => x = -7
   • 6x - 18 = 0 => 6x = 18 => x = 3
2. Отмечаем корни на числовой прямой и определяем знаки интервалов:
   • x = -7 (корень кратности 2, знак не меняется)
   • x = 3 (корень знаменателя, выколотая точка)
   • x = 10 (корень числителя, закрашенная точка)
3. Метод интервалов:
   • Правый интервал (x > 10): Возьмем x = 11. (11-10)(11+7)² / (6*11-18) = 1 * 18² / (66-18) = 324 / 48 > 0. Ставим '+'
   • Интервал (3 < x < 10): Возьмем x = 4. (4-10)(4+7)² / (6*4-18) = -6 * 11² / (24-18) = -6 * 121 / 6 < 0. Ставим '-'
   • Интервал (-7 < x < 3): Возьмем x = 0. (0-10)(0+7)² / (6*0-18) = -10 * 49 / -18 > 0. Ставим '+' (знак не меняется из-за (x+7)²)
   • Интервал (x < -7): Возьмем x = -8. (-8-10)(-8+7)² / (6*(-8)-18) = -18 * (-1)² / (-48-18) = -18 * 1 / -66 > 0. Ставим '+'
4. Выбираем интервалы, где неравенство < 0: Это интервал (3; 10).

Ответ: (3; 10)