Контрольные задания > 26. (3 балла) Расстояние между городами А и В равно 300 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал велосипедист. Велосипедист догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в км.
Вопрос:

26. (3 балла) Расстояние между городами А и В равно 300 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал велосипедист. Велосипедист догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в км.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

  1. Обозначим:
    • t - время движения автомобиля из А до С (в часах).
    • v_а - скорость автомобиля (пусть v_а км/ч).
    • v_в - скорость велосипедиста = 90 км/ч.
    • AC - расстояние от А до С (в км).
    • CB - расстояние от С до В (в км).
    • AB = 300 км.
  2. Составим уравнения движения:
    • Автомобиль: AC = v_а * t
    • Велосипедист:
      • Время движения велосипедиста до встречи с автомобилем в точке С: t - 1 час.
      • Расстояние AC = v_в * (t - 1) = 90 * (t - 1).
    • Приравниваем расстояния до точки С:
      • v_а * t = 90 * (t - 1) (1)
  3. Рассмотрим движение велосипедиста обратно:
    • Время движения от С до А: t - 1 час (так как он вернулся в А, когда автомобиль прибыл в В).
    • Расстояние CA = v_в * (t - 1) = 90 * (t - 1).
    • Получаем, что AC = 90 * (t - 1).
  4. Теперь рассмотрим движение автомобиля от С до В:
    • Автомобиль прибыл в В, когда велосипедист вернулся в А.
    • Время движения автомобиля от А до В: t_AB = AB / v_а = 300 / v_а.
    • Время движения автомобиля от А до С: t_AC = AC / v_а = (90 * (t - 1)) / v_а.
    • Время движения автомобиля от С до В: t_CB_auto = t_AB - t_AC = (300 / v_а) - (90 * (t - 1)) / v_а.
  5. Расстояние CB, которое проехал автомобиль: CB = AB - AC = 300 - AC.
  6. Связь времен: Велосипедист ехал от С до А столько же времени, сколько автомобиль ехал от С до В.
    • Время велосипедиста (С -> А): 90 * (t - 1) / 90 = t - 1.
    • Время автомобиля (С -> В): (300 - AC) / v_а.
    • Приравниваем времена: t - 1 = (300 - AC) / v_а (2)
  7. Подставим AC = v_а * t в уравнение (2):
    • t - 1 = (300 - v_а * t) / v_а
    • v_а * (t - 1) = 300 - v_а * t
    • v_а * t - v_а = 300 - v_а * t
    • 2 * v_а * t = 300 + v_а
  8. Из уравнения (1) выразим v_а:
    • v_а = 90 * (t - 1) / t
  9. Подставим v_а в полученное уравнение:
    • 2 * (90 * (t - 1) / t) * t = 300 + (90 * (t - 1) / t)
    • 180 * (t - 1) = 300 + 90 * (t - 1) / t
    • 180t - 180 = 300t + 90t - 90
    • 180t - 180 = 390t - 90
    • 180t - 390t = -90 + 180
    • -210t = 90
    • t = -90 / 210 = -9 / 21 = -3 / 7. Время не может быть отрицательным, значит, была ошибка в логике.

Переосмыслим задачу:

  1. Пусть t - время движения велосипедиста от момента старта до момента, когда он вернулся в А.
  2. За это время автомобиль проехал из А в В.
  3. Автомобиль стартовал на 1 час раньше велосипедиста.
  4. Время движения автомобиля: t + 1 час.
  5. Расстояние, которое проехал автомобиль: AB = v_а * (t + 1) = 300 км.
  6. Расстояние, которое проехал велосипедист: v_в * t = 90 * t.
  7. Путь велосипедиста туда и обратно равен 2 * AC.
    • 2 * AC = 90 * t
    • AC = 45 * t
  8. Подставим AC в уравнение для автомобиля:
    • v_а * t = AC = 45 * t
  9. Из уравнения AB: v_а = 300 / (t + 1).
  10. Подставим v_а в уравнение AC:
    • (300 / (t + 1)) * t = 45 * t
  11. Сократим на t (t > 0, так как велосипедист двигался):
    • 300 / (t + 1) = 45
    • 300 = 45 * (t + 1)
    • 300 = 45t + 45
    • 45t = 300 - 45
    • 45t = 255
    • t = 255 / 45 = 51 / 9 = 17 / 3 часа.
  12. Теперь найдем расстояние AC:
    • AC = 45 * t = 45 * (17 / 3) = 15 * 17 = 255 км.

Ответ: 255

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие