25. (3 балла) В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом в 60°. Расстояние от середины высоты пирамиды до боковой грани равно 2. Найдите объем пирамиды.

Решение:

1. Обозначим:
   • Пирамида - PABCD, где P - вершина, ABCD - основание.
   • O - центр основания, PO - высота.
   • H = PO - высота пирамиды.
   • M - середина PO. OM = H/2 = 2.
   • S - середина стороны основания (например, BC). SO - апофема основания.
   • Угол наклона боковой грани к основанию - угол между SO и PO, то есть ∠PSO = 60°.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔPSO:
   • tg(∠PSO) = PO / SO
   • tg(60°) = H / SO
   • √3 = H / SO => SO = H/√3
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔSOM (O - середина основания, S - середина стороны основания):
   • OM = H/2 = 2 (дано).
   • SO - апофема основания.
   • SM - апофема боковой грани.
   • В прямоугольном треугольнике ΔSOM, OM - катет, SO - гипотенуза.
   • cos(∠OSM) = OM / SO
   • cos(60°) = 2 / SO
   • 1/2 = 2 / SO => SO = 4.
4. Теперь найдем высоту H:
   • Из SO = H/√3 и SO = 4, получаем: 4 = H/√3 => H = 4√3.
5. Найдем сторону основания (a):
   • SO - апофема основания. В прямоугольном треугольнике ΔSOК (К - середина BC), OK = a/2.
   • tg(∠PSK) = OK / SO
   • tg(60°) = (a/2) / 4
   • √3 = a/8 => a = 8√3.
6. Найдем площадь основания (S_осн):
   • S_осн = a² = (8√3)² = 64 * 3 = 192.
7. Вычислим объем пирамиды (V):
   • V = (1/3) * S_осн * H
   • V = (1/3) * 192 * 4√3
   • V = 64 * 4√3 = 256√3.

Ответ: 256√3