24. (2 балла) Решите уравнение: log₂x - 8 log₂x + 15 = 0.

Решение:

1. Введем замену переменной. Пусть t = log₂x.
2. Получим квадратное уравнение:\[ t^2 - 8t + 15 = 0 \]
3. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 × 1 × 15 = 64 - 60 = 4 \]
4. Найдем корни t:\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 × 1} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
5. Найдем второй корень t:\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 × 1} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
6. Сделаем обратную замену:
   • log₂x = 5
   • log₂x = 3
7. Найдем x:
   • x = 2⁵ = 32
   • x = 2³ = 8
8. Проверим область допустимых значений (x > 0). Оба корня подходят.

Ответ: 8, 32