23. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает его сторону ВС в точке Е. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BE = 7, EC = 3, a ∠ABC = 150°.

Решение:

1. Свойства параллелограмма:
• Противоположные стороны равны: AD = BC, AB = CD.
• Противоположные углы равны, сумма смежных углов равна 180°.
2. Угол при точке E:
3. Так как AE — биссектриса угла A, то ∠BAE = ∠DAE.
4. Так как BC || AD, то ∠DAE = ∠BEA (накрест лежащие углы).
5. Следовательно, ∠BAE = ∠BEA. Это означает, что треугольник ABE — равнобедренный с AB = BE.
6. Длина стороны AB:
7. По условию, BE = 7, следовательно, AB = 7.
8. Длина стороны BC:
9. BC = BE + EC = 7 + 3 = 10.
10. Площадь параллелограмма:
11. Площадь параллелограмма можно найти по формуле: S = a * b * sin(α), где a и b — смежные стороны, а α — угол между ними.
12. В нашем случае, a = AB = 7, b = BC = 10, α = ∠ABC = 150°.
13. \[ S = AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) \]
14. \[ S = 7 \cdot 10 \cdot \sin(150^{\circ}) \]
15. \[ \sin(150^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \]
16. \[ S = 7 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} \]
17. \[ S = 70 \cdot \frac{1}{2} = 35 \]

Ответ: 35