25. Две окружности с центрами О₁ и О₃ и радиусами 4,5 и 2,5 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром О₂ радиусом 7,5. Найдите угол О₁О₂О₃.

Решение:

1. Анализ расположения окружностей:
• Окружность с центром O₁ (радиус r₁ = 4.5) и окружность с центром O₃ (радиус r₃ = 2.5) касаются внешним образом. Расстояние между их центрами равно сумме радиусов:
• \[ O_1O_3 = r_1 + r_3 = 4.5 + 2.5 = 7 \]
• Окружность с центром O₁ касается окружности с центром O₂ (радиус r₂ = 7.5) внутренним образом. Расстояние между их центрами равно разности радиусов:
• \[ O_1O_2 = |r_2 - r_1| = |7.5 - 4.5| = 3 \]
• Окружность с центром O₃ касается окружности с центром O₂ (радиус r₂ = 7.5) внутренним образом. Расстояние между их центрами равно разности радиусов:
• \[ O_2O_3 = |r_2 - r_3| = |7.5 - 2.5| = 5 \]
2. Треугольник O₁O₂O₃:
3. Мы получили три отрезка, соединяющих центры окружностей:
• O₁O₂ = 3
• O₂O₃ = 5
• O₁O₃ = 7
4. Эти отрезки образуют треугольник O₁O₂O₃.
5. Нахождение угла:
6. Для нахождения угла O₁O₂O₃ (обозначим его как β), применим теорему косинусов к треугольнику O₁O₂O₃:
7. \[ O_1O_3^2 = O_1O_2^2 + O_2O_3^2 - 2 \cdot O_1O_2 \cdot O_2O_3 \cdot \cos(\beta) \]
8. \[ 7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\beta) \]
9. \[ 49 = 9 + 25 - 30 \cdot \cos(\beta) \]
10. \[ 49 = 34 - 30 \cdot \cos(\beta) \]
11. \[ 49 - 34 = -30 \cdot \cos(\beta) \]
12. \[ 15 = -30 \cdot \cos(\beta) \]
13. \[ \cos(\beta) = \frac{15}{-30} \]
14. \[ \cos(\beta) = -0.5 \]
15. Угол, косинус которого равен -0.5, равен 120°.

Ответ: 120°