22. Постройте график функции y = (x² + 2,25)(x - 1) / (1 - x) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Упрощение функции:
2. Заметим, что знаменатель (1 - x) равен -(x - 1).
3. \[ y = \frac{(x^2 + 2.25)(x - 1)}{-(x - 1)} \]
4. При x ≠ 1, мы можем сократить (x - 1):
5. \[ y = -(x^2 + 2.25) \]
6. \[ y = -x^2 - 2.25 \]
7. Это парабола с ветвями, направленными вниз, с вершиной в точке (0; -2.25).
8. Выколотая точка:
9. Поскольку мы сократили (x - 1), функция определена для всех x, кроме x = 1.
10. Найдем значение y при x = 1:
11. \[ y = -(1)^2 - 2.25 = -1 - 2.25 = -3.25 \]
12. Таким образом, график функции — это парабола y = -x² - 2.25 с выколотой точкой (1; -3.25).
13. Прямая y = kx:
14. Прямая y = kx проходит через начало координат (0; 0) и имеет наклон k.
15. Нам нужно найти такие значения k, при которых прямая y = kx пересекает параболу y = -x² - 2.25 (с учетом выколотой точки) ровно в одной точке.
16. Анализ пересечений:
17. Приравниваем уравнения:
18. \[ kx = -x^2 - 2.25 \]
19. \[ x^2 + kx + 2.25 = 0 \]
20. Это квадратное уравнение. Для того чтобы оно имело ровно одно решение, его дискриминант должен быть равен нулю (D = 0).
21. \[ D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2.25 = k^2 - 9 \]
22. \[ k^2 - 9 = 0 \]
23. \[ k^2 = 9 \]
24. \[ k = \pm 3 \]
25. Проверка выколотой точки:
26. Если k = 3, уравнение: x² + 3x + 2.25 = 0. Решение: x = -3/2 = -1.5. Это не выколотая точка x=1.
27. Если k = -3, уравнение: x² - 3x + 2.25 = 0. Решение: x = 3/2 = 1.5. Это не выколотая точка x=1.
28. Рассмотрим случай, когда прямая проходит через выколотую точку (1; -3.25).
29. Подставим координаты выколотой точки в уравнение прямой y = kx:
30. \[ -3.25 = k \cdot 1 \]
31. \[ k = -3.25 \]
32. В этом случае одно из решений уравнения x² + kx + 2.25 = 0 должно быть x = 1.
33. Проверим: 1² + (-3.25)*1 + 2.25 = 1 - 3.25 + 2.25 = 0.
34. Таким образом, при k = -3.25, прямая проходит через выколотую точку.
35. Уравнение x² - 3.25x + 2.25 = 0 имеет корни:
36. \[ x = \frac{3.25 \pm \sqrt{(-3.25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2.25}}{2} = \frac{3.25 \pm \sqrt{10.5625 - 9}}{2} = \frac{3.25 \pm \sqrt{1.5625}}{2} = \frac{3.25 \pm 1.25}{2} \]
37. x₁ = (3.25 + 1.25) / 2 = 4.5 / 2 = 2.25
38. x₂ = (3.25 - 1.25) / 2 = 2 / 2 = 1
39. В этом случае мы получаем два пересечения: одно в выколотой точке (x=1), и одно другое (x=2.25). Нам нужно ровно одно.
40. Когда прямая проходит через начало координат (0;0) и касается параболы (D=0), мы получаем одно пересечение. Это k = ±3.
41. Когда прямая проходит через выколотую точку (1; -3.25), одно из пересечений приходится на эту точку. Другое пересечение будет, если k ≠ -3.
42. Нам нужно ровно одно пересечение.
43. Случай 1: Прямая касается параболы. Это происходит при k = 3 и k = -3. В этих случаях единственное решение не равно 1.
44. Случай 2: Прямая проходит через выколотую точку (1; -3.25). Это происходит при k = -3.25. В этом случае одно решение - это выколотая точка (x=1), а другое решение x=2.25. То есть всего два пересечения.
45. Исключение: Если одно из решений квадратного уравнения совпадает с координатой выколотой точки (x=1), то это пересечение не учитывается.
46. При k = -3.25, мы получаем два решения: x = 1 (выколотая точка) и x = 2.25. Так как x=1 не входит в область определения, то остается только одно пересечение (x=2.25).
47. Следовательно, k = -3.25 также является решением.
48. Итак, прямая y = kx будет иметь ровно одну общую точку с графиком, если:
49. 1. Прямая касается параболы (D=0), и точка касания не является выколотой. Это k = ±3.
50. 2. Прямая проходит через выколотую точку, и при этом больше не пересекает параболу (что невозможно, т.к. парабола и прямая через нее проходят, давая два решения, одно из которых выколото, оставляя одно).
51. Перепроверим случай k = -3.25. Уравнение: x² - 3.25x + 2.25 = 0. Корни: x₁ = 1, x₂ = 2.25. Так как x=1 - выколотая точка, то остается только одно пересечение при x=2.25. Значит, k=-3.25 подходит.
52. График: Парабола y = -x² - 2.25 с выколотой точкой (1; -3.25).
53. Значения k:
54. 1. k = 3 (касание)
55. 2. k = -3 (касание)
56. 3. k = -3.25 (проходит через выколотую точку, давая одно фактическое пересечение)

Ответ: k = 3, k = -3, k = -3.25