25. Через середину O медианы BN треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке D. Найдите отношение площади треугольника ABO к площади четырёхугольника ODCN.

Обозначим \(B=(0,0)\), \(C=(1,0)\), \(A=(u,v)\), где \(v\ne0\). Так как N — середина AC, \(N=((u+1)/2,v/2)\). O — середина BN, поэтому \(O=((u+1)/4,v/4)\).

Прямая AO пересекает ось BC при параметре \(t=4/3\) в точке с координатой \(x=1/3\). Значит, \(D=(1/3,0)\).

Площадь треугольника ABO равна \(|v|/8\). По формуле площади многоугольника для вершин O, D, C, N площадь четырёхугольника ODCN равна \(5|v|/24\).

Следовательно, \(S_{ABO}:S_{ODCN}=(|v|/8):(5|v|/24)=3:5\).

Ответ: 3:5.