23. Диагонали \(AC\) и \(BD\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). К стороне \(AD\) проведена высота \(BH\), которая пересекает отрезок \(AO\) в точке \(K\), причём \(AK:KO=8:3\). Найдите высоту \(BH\), если \(KH=6\).

Введём координаты: пусть \(A=(0,0)\), \(D=(d,0)\), а \(B=(u,h)\), где \(h=BH\). Тогда \(C=(u+d,h)\), а точка пересечения диагоналей — середина диагонали \(AC\): \(O=((u+d)/2,h/2)\).

Из отношения \(AK:KO=8:3\) следует, что \(K\) делит \(AO\) в отношении \(8:11\), поэтому его координаты равны \((4(u+d)/11,4h/11)\). Так как \(BK\perp AD\), точка \(K\,\) имеет ту же абсциссу, что и \(B\): \(4(u+d)/11=u\). Отсюда \(u=4d/7\).

Вертикальное расстояние от \(K\) до \(B\) равно \(KH=h-4h/11=7h/11\). Поэтому \(7h/11=6\), откуда \(h=66/7\).

Ответ: \(BH=\dfrac{66}{7}\).