25 В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является серединой диагонали AC. Расстояния от точки O до сторон AB и BC равны. Докажите, что ABCD-ромб.

1) Пусть перпендикуляры из точки О на стороны AB и BC равны OH и OK, соответственно. По условию OH = OK. Так как точка О является серединой диагонали АС, то она равноудалена от противоположных сторон параллелограмма. 2) Рассмотрим треугольники AOH и COK. Они прямоугольные. OH=OK, OA=OC как половина диагонали. Углы OAH и OCK накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC, аналогично углы OCA и OAC, при параллельных прямых BC и AD. Следовательно треугольники AOH=COK по катету и гипотенузе, и углы OAH = OCK и OHA=OKC. 3) Так как OH и OK равны, то треугольники AOH и COK равны, следовательно углы OAB=OCB. Так как диагональ AC делит параллелограмм на два равных треугольника, то углы BAC = DCA, аналогично BCA = DAC. 4) Так как углы OAB=OCB, то AB=BC, а если стороны параллелограмма равны, то это ромб, что и требовалось доказать.