23. Постройте график функции $y=2-\frac{4x^2-16x}{x^3-4x^2}$. Определите все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=ax+2$ не имеет с этим графиком ни одной общей точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 23. Постройте график функции $y=2-\frac{4x^2-16x}{x^3-4x^2}$. Определите все значения параметра $a$, при каждом из…$ Фото задания

23. Постройте график функции $y=2-\frac{4x^2-16x}{x^3-4x^2}$. Определите все значения параметра $a$, при каждом из которых прямая $y=ax+2$ не имеет с этим графиком ни одной общей точки.

Accepted Answer

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:

$y=2-\frac{4x(x-4)}{x^2(x-4)}=2-\frac{4}{x}$, но исходная функция определена только при $x\ne0$ и $x\ne4$.

Значит, график — гипербола $y=2-\frac4x$ с вертикальной асимптотой $x=0$, горизонтальной асимптотой $y=2$ и выколотой точкой $(4;1)$.

Для пересечения с прямой $y=ax+2$ при допустимом $x$ приравняем выражения:

$2-\frac4x=ax+2$,
$ax^2+4=0$.

Если $a\ge0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, прямая не пересекает график. Если $a<0$, уравнение имеет ненулевые действительные корни; даже когда один корень равен 4, второй равен −4 и допустим. Поэтому пересечение есть при любом $a<0$.

Ответ: $a\ge0$.