26. В равнобокую трапецию с основаниями 1 и 9 вписана окружность. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности и сторон трапеции.

В четырёхугольник с вписанной окружностью суммы длин противоположных сторон равны. Поэтому боковые стороны трапеции в сумме дают \(1+9=10\), а поскольку трапеция равнобокая, каждая боковая сторона равна 5.

Разность оснований равна 8, значит, горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна 4. Высота трапеции равна \(\sqrt{5^2-4^2}=3\). Радиус вписанной окружности равен половине высоты, то есть \(3/2\).

Расположим основания горизонтально, а центр окружности над серединой оснований. Точки касания с основаниями — их середины. По симметрии точки касания с боковыми сторонами находятся на одной высоте. Для правой боковой стороны, направленной от нижней вершины к верхней на \((-4;3)\), проекция вектора от нижней вершины к центру окружности на эту сторону составляет долю \(\frac{4\cdot4+3\cdot1.5}{5^2}=\frac9{10}\) длины стороны. Поэтому точка касания находится на высоте \(\frac9{10}\cdot3=2.7\); левая точка симметрична.

У четырёхугольника касания горизонтальные диагонали равны 3 и 1.8, они перпендикулярны. Следовательно, его площадь равна \(\frac{3\cdot1.8}{2}=2.7=\frac{27}{10}\).

Ответ: \(\frac{27}{10}\).