25. Биссектрисы углов $B$ и $C$ при боковой стороне $BC$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $O$ лежит на средней линии трапеции.

Question

Вопрос: $Фото задания: 25. Биссектрисы углов $B$ и $C$ при боковой стороне $BC$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что…$ Фото задания

25. Биссектрисы углов $B$ и $C$ при боковой стороне $BC$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $O$ лежит на средней линии трапеции.

Accepted Answer

Поскольку основания трапеции параллельны, $AB\parallel CD$, а $BC$ — секущая, внутренние односторонние углы удовлетворяют равенству $\angle B+\angle C=180^\circ$. Их биссектрисы поэтому перпендикулярны: угол между ними равен $\frac{\angle B+\angle C}{2}=90^\circ$.

Точка $O$ лежит на биссектрисе угла $B$, значит, её расстояния до прямых $AB$ и $BC$ равны. Так как $O$ также лежит на биссектрисе угла $C$, её расстояния до прямых $BC$ и $CD$ равны. Следовательно, расстояния от $O$ до параллельных оснований $AB$ и $CD$ равны.

Множество точек, равноудалённых от двух параллельных прямых, — прямая, параллельная им и проходящая ровно посередине. Это средняя линия трапеции. Поэтому $O$ лежит на средней линии.

25. Биссектрисы углов \(B\) и \(C\) при боковой стороне \(BC\) трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Докажите, что \(O\) лежит на средней линии трапеции.

Ответ: