23. Постройте график функции $y=\frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}$ и определите, при каких значениях $c$ прямая $y=c$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 23. Постройте график функции $y=\frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}$ и определите, при каких значениях $c$ прямая $y=c$…$ Фото задания

23. Постройте график функции $y=\frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}$ и определите, при каких значениях $c$ прямая $y=c$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Разложим числитель на множители:

\[x^4-13x^2+36=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2).\]

Сокращая общие множители, получаем $y=x^2+x-6$, но исходная функция не определена при $x=-2$ и $x=3$. Поэтому график — парабола, у которой отсутствуют точки $(-2,-4)$ и $(3,6)$.

Горизонтальная прямая через вершину параболы касается её в одной точке. Вершина имеет абсциссу $-\frac12$, а ординату $-\frac{25}{4}$; эта точка не исключена.

Кроме того, при $c=-4$ уравнение $x^2+x-6=-4$ имеет корни $-2$ и $1$, но точка с абсциссой $-2$ исключена, поэтому остаётся одна общая точка. При $c=6$ корни равны $-4$ и $3$; точка с абсциссой $3$ исключена, и также остаётся одна общая точка. Для остальных значений, кроме ординаты вершины, пересечений либо два, либо ни одного.

Ответ: $c=-\frac{25}{4},\ -4,\ 6$.

23. Постройте график функции \(y=\frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}\) и определите, при каких значениях \(c\) прямая \(y=c\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: