26. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 8. Окружность радиуса 5 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найди радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Данная окружность — вневписанная окружность, противоположная вершине \(B\): она касается основания и продолжений боковых сторон. Обозначим боковую сторону через \(l\), полупериметр — через \(p=l+4\), площадь — через \(S\).

Для этой вневписанной окружности \(r_B=\frac{S}{p-8}=5\). Высота к основанию равна \(h\), поэтому \(S=4h\), а \(l=\sqrt{h^2+4^2}\). Получаем \(4h=5(l-4)\), то есть \(l=4+\frac{4h}{5}\).

Подставим в \(l^2=h^2+16\):

\[\left(4+\frac{4h}{5}\right)^2=h^2+16,\qquad h=\frac{64}{9}.\]

Тогда \(l=\frac{164}{9}\), а площадь \(S=4h=\frac{256}{9}\). Радиус вписанной окружности равен \(r=\frac{S}{p}\), где \(p=\frac{164}{9}+4=\frac{200}{9}\). Поэтому \(r=\frac{256/9}{200/9}=\frac{32}{25}\).

Ответ: \(\frac{32}{25}\).